统计假设测验------（二）平均数的假设测验（t测验原理与公式）

1、t分布（t distribution）

从一个平均数为、方差为的正态总体重抽样，或者在一个非正态总体里抽样只要样本容量有足够大，则所得一系列样本平均数的分布必趋于正态分布，具有,且遵循正态分布。测验,这类测验称u测验。

但是测验只有在总体方差为已知，或者未知但样本容量相当大，可用直接作为估计值应用。当样本容量不太大（n<30）且未知时，样本均方估计总体方差，则其标准化离差u的分布不呈正态，而作t分布，具有*度df或者n-1。

             :样本平均数的标准误， 的估计值，s为样本标准差，n为样本容量        

t分布又称学生氏分布（student's t distribution）,是一组对称密度函数曲线，具有一个单独参数v以确定某一特定分布。当*度增大时，t分布趋于正态分布。

t分布的特征

（1）参数：=0(假定v>1);(假定v>2)

（2）形状：t分布曲线是对称的，围绕其平均数=0向两侧递降；

                  *度较小t 分布比之*度较大的t分布具有较大的变异度

                 它和正态曲线比较，t 分布曲线稍微扁平，顶峰略低，尾部稍高，是一组随*度而改变的曲线，受*度制约，概率随*度不同而改变，*度>30时接近正态曲线，无穷时，与正态曲线合一。

               

在t表中，若v相同，则P越大，t越小；P越小，t越大。在假设测验时，当算得的|t|大于或等于表上查出的时，则表明其属于随机误差的概率小于或等于规定的显著水平，因而可否定假设。若,则接受无效假设。

用t分布进行的假设测验称t测验（t-test）。

2、单个样本平均数的假设测验

       测样某一样本所属总体平均数是否和某一指定的总体平均数相同。

                  

3 、两个样本平均数相比较的假设测验

两个样本平均数的相差，以测验这两个样本所属的总体平均数有无显著差异。测试方法因试验设计的不同而分为成组数据的平均数和成对数据的比较两种。

（1）成组数据的平均数比较（随机化设计）：如果两个处理为完全随机设计的两个处理，各供试单位彼此独立，不论两个处理的样本容量是否相同，所得数据皆为成组数据，以组（处理）平均数作为相互比较的标准。成组数据的平均数比较又依两个样本所属的总体方差是否已知、是否相等而采用不同的测验方法。

i:    两样本总体方差已知时，用u测验   

由抽样分布的公式知，两样本平均数 的差数标准误:

           

在假设下，正态离差，可对两样本平均数的差异做出假设测验。

ii:   两样本总体方差未知但可假设两方差相等，又为小样本，t测验   

首先从样本变异算出平均数差数,作出对的估计。由于假定,应为两样本均方的加权平均值：

又称合并均方，两样本平均数的差数标准误为：

         若   ，则  

则有：

假设，

iii:  两样本的总体方差未知且不等时，用近似t测验

由于，差数的标准误需用两个样本的均方分别估计:       

但是将上式带入中，所得的t值不再做成准确的t分布，仅能进行近似的t测验。在做t测验时需先计算k值和:

（2）成对数据的比较（配对设计能大大减小误差）

若试验设计是将性质相同的两个供试单位配成一对，并没有多个配对，然后每一配对的两个供试单位分别随机地给予不同处理，则所得观察值为成对数据。

成对数据，由于同一配对内两个供试单位的试验条件很是接近，而不同配对间的条件差异又可通过同一配对的差数予以消除，可以控制试验误差，具有较高精确度。

在分析试验结果时，只要假设两样本的总体差数的平均数,而不必假设两样本的总体方差。

设两个样本的观察值分别为,共配对n对，各个对的差数为,差数的平均数，则差数平均数的标准误为：        

*度v=n-1。假设,则

成对数据和成组数据平均数比较依据条件不同。前者假定各个配对的差数来自差数的分布为正态的总体，每一配对的两个供试单位彼此相关；后者假定两个样本均有共同或不同方差的正态总体，两个样本的供试单位彼此独立。