Yaw, Pitch, Roll 角

【CV】三维空间的旋转问题(Rotation in 3D space)

以飞机的动作为例，

旋转矩阵

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ 1 \end{matrix}] = R \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}]

绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：

R_{x} (θ) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & - \sin θ \\ 0 & \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

R_{y} (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & 0 & - \sin θ \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin θ & 0 & \cos θ \end{matrix}]

R_{z} (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

而对于绕任意轴旋转，则需要先把这个轴旋转至与一条坐标轴重合，再绕坐标轴旋转，最后再把轴按原路旋转回去，即

R_{x} (- p) \cdot R_{y} (- q) \cdot R_{z} (θ) \cdot R_{y} (q) \cdot R_{x} (p)

,其中

其中，p和q的值需要用i,j,k计算出来。
注意，右边的旋转先与齐次坐标运算。

旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P’:
【CV】三维空间的旋转问题(Rotation in 3D space)

上图中

欧拉角由以上元素给出

如果 $β$ 是0, 就没有绕N轴的旋转. 因此Z轴与z轴重合, $α$ 和 $γ$ 代表绕同一个轴(z)的旋转, 最终的方向可以通过一个单一的绕z轴的旋转获得，这个旋转角度等于 $α + γ$ .

三个欧拉角的定义是明确的固定的，但是顺序却是依个人喜好定的。
若按照上面的 zxZ 的顺序，

R_{z} (α) \cdot R_{x} (β) \cdot R_{z} (γ)

注意与旋转矩阵不同，在欧拉角中最先进行的旋转在最左边。因为旋转矩阵我们始终基于绝对参考系，而对于欧拉角，我们每一次旋转都是基于刚体坐标系。