深度学习(6) - 循环神经网络
语言模型
RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，比如，RNN可以为语言模型来建模。那么，什么是语言模型呢？
我们可以和电脑玩一个游戏，我们写出一个句子前面的一些词，然后，让电脑帮我们写下接下来的一个词。比如下面这句：
我昨天上学迟到了，老师批评了____。
我们给电脑展示了这句话前面这些词，然后，让电脑写下接下来的一个词。在这个例子中，接下来的这个词最有可能是『我』，而不太可能是『小明』，甚至是『吃饭』。
语言模型就是这样的东西：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。
语言模型是对一种语言的特征进行建模，它有很多很多用处。比如在语音转文本(STT)的应用中，声学模型输出的结果，往往是若干个可能的候选词，这时候就需要语言模型来从这些候选词中选择一个最可能的。当然，它同样也可以用在图像到文本的识别中(OCR)。
使用RNN之前，语言模型主要是采用N-Gram。N可以是一个自然数，比如2或者3。它的含义是，假设一个词出现的概率只与前面N个词相关。我们以2-Gram为例。首先，对前面的一句话进行切词：
我 昨天 上学 迟到 了 ，老师 批评 了 ____。
如果用2-Gram进行建模，那么电脑在预测的时候，只会看到前面的『了』，然后，电脑会在语料库中，搜索『了』后面最可能的一个词。不管最后电脑选的是不是『我』，我们都知道这个模型是不靠谱的，因为『了』前面说了那么一大堆实际上是没有用到的。如果是3-Gram模型呢，会搜索『批评了』后面最可能的词，感觉上比2-Gram靠谱了不少，但还是远远不够的。因为这句话最关键的信息『我』，远在9个词之前！
现在读者可能会想，可以提升继续提升N的值呀，比如4-Gram、5-Gram.......。实际上，这个想法是没有实用性的。因为我们想处理任意长度的句子，N设为多少都不合适；另外，模型的大小和N的关系是指数级的，4-Gram模型就会占用海量的存储空间。
所以，该轮到RNN出场了，RNN理论上可以往前看(往后看)任意多个词。
循环神经网络是啥
循环神经网络种类繁多，我们先从最简单的基本循环神经网络开始吧。
基本循环神经网络
下图是一个简单的循环神经网络如，它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成：
纳尼？！相信第一次看到这个玩意的读者内心和我一样是崩溃的。因为循环神经网络实在是太难画出来了，网上所有大神们都不得不用了这种抽象艺术手法。不过，静下心来仔细看看的话，其实也是很好理解的。如果把上面有W的那个带箭头的圈去掉，它就变成了最普通的全连接神经网络。x是一个向量，它表示输入层的值（这里面没有画出来表示神经元节点的圆圈）；s是一个向量，它表示隐藏层的值（这里隐藏层面画了一个节点，你也可以想象这一层其实是多个节点，节点数与向量s的维度相同）；U是输入层到隐藏层的权重矩阵（读者可以回到第三篇文章零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法，看看我们是怎样用矩阵来表示全连接神经网络的计算的）；o也是一个向量，它表示输出层的值；V是隐藏层到输出层的权重矩阵。那么，现在我们来看看W是什么。循环神经网络的隐藏层的值s不仅仅取决于当前这次的输入x，还取决于上一次隐藏层的值s。权重矩阵 W就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。
如果我们把上面的图展开，循环神经网络也可以画成下面这个样子：
现在看上去就比较清楚了，这个网络在t时刻接收到输入之后，隐藏层的值是，输出值是。关键一点是，的值不仅仅取决于，还取决于。我们可以用下面的公式来表示循环神经网络的计算方法：
式1是输出层的计算公式，输出层是一个全连接层，也就是它的每个节点都和隐藏层的每个节点相连。V是输出层的权重矩阵，g是**函数。式2是隐藏层的计算公式，它是循环层。U是输入x的权重矩阵，W是上一次的值作为这一次的输入的权重矩阵，f是**函数。
从上面的公式我们可以看出，循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵 W。
如果反复把式2带入到式1，我们将得到：
从上面可以看出，循环神经网络的输出值，是受前面历次输入值、、、、...影响的，这就是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。
双向循环神经网络
对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，比如下面这句话：
我的手机坏了，我打算____一部新手机。
可以想象，如果我们只看横线前面的词，手机坏了，那么我是打算修一修？换一部新的？还是大哭一场？这些都是无法确定的。但如果我们也看到了横线后面的词是『一部新手机』，那么，横线上的词填『买』的概率就大得多了。
在上一小节中的基本循环神经网络是无法对此进行建模的，因此，我们需要双向循环神经网络，如下图所示：
当遇到这种从未来穿越回来的场景时，难免处于懵逼的状态。不过我们还是可以用屡试不爽的老办法：先分析一个特殊场景，然后再总结一般规律。我们先考虑上图中，的计算。
从上图可以看出，双向卷积神经网络的隐藏层要保存两个值，一个A参与正向计算，另一个值A'参与反向计算。最终的输出值取决于和。其计算方法为：
和则分别计算：
现在，我们已经可以看出一般的规律：正向计算时，隐藏层的值与有关；反向计算时，隐藏层的值与有关；最终的输出取决于正向和反向计算的加和。现在，我们仿照式1和式2，写出双向循环神经网络的计算方法：
从上面三个公式我们可以看到，正向计算和反向计算不共享权重，也就是说U和U'、W和W'、V和V'都是不同的权重矩阵。
深度循环神经网络
前面我们介绍的循环神经网络只有一个隐藏层，我们当然也可以堆叠两个以上的隐藏层，这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示：
我们把第i个隐藏层的值表示为、，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：
循环神经网络的训练
循环神经网络的训练算法：BPTT
BPTT算法是针对循环层的训练算法，它的基本原理和BP算法是一样的，也包含同样的三个步骤：
- 前向计算每个神经元的输出值；
- 反向计算每个神经元的误差项值，它是误差函数E对神经元j的加权输入的偏导数；
- 计算每个权重的梯度。
最后再用随机梯度下降算法更新权重。
循环层如下图所示：
前向计算
使用前面的式2对循环层进行前向计算：
注意，上面的、、都是向量，用黑体字母表示；而U、V是矩阵，用大写字母表示。向量的下标表示时刻，例如，表示在t时刻向量s的值。
我们假设输入向量x的维度是m，输出向量s的维度是n，则矩阵U的维度是，矩阵W的维度是。下面是上式展开成矩阵的样子，看起来更直观一些：
在这里我们用手写体字母表示向量的一个元素，它的下标表示它是这个向量的第几个元素，它的上标表示第几个时刻。例如，表示向量s的第j个元素在t时刻的值。表示输入层第i个神经元到循环层第j个神经元的权重。表示循环层第t-1时刻的第i个神经元到循环层第t个时刻的第j个神经元的权重。
误差项的计算
BTPP算法将第l层t时刻的误差项值沿两个方向传播，一个方向是其传递到上一层网络，得到，这部分只和权重矩阵U有关；另一个是方向是将其沿时间线传递到初始时刻，得到，这部分只和权重矩阵W有关。
我们用向量表示神经元在t时刻的加权输入，因为：
因此：
我们用a表示列向量，用表示行向量。上式的第一项是向量函数对向量求导，其结果为Jacobian矩阵：
同理，上式第二项也是一个Jacobian矩阵：
其中，diag[a]表示根据向量a创建一个对角矩阵，即
最后，将两项合在一起，可得：
上式描述了将沿时间往前传递一个时刻的规律，有了这个规律，我们就可以求得任意时刻k的误差项：
式3就是将误差项沿时间反向传播的算法。
循环层将误差项反向传递到上一层网络，与普通的全连接层是完全一样的，这在前面的文章零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法中已经详细讲过了，在此仅简要描述一下。
循环层的加权输入与上一层的加权输入关系如下：
上式中是第l层神经元的加权输入(假设第l层是循环层)；是第l-1层神经元的加权输入；是第l-1层神经元的输出；是第l-1层的**函数。
所以，
式4就是将误差项传递到上一层算法。
权重梯度的计算
现在，我们终于来到了BPTT算法的最后一步：计算每个权重的梯度。
首先，我们计算误差函数E对权重矩阵W的梯度。
上图展示了我们到目前为止，在前两步中已经计算得到的量，包括每个时刻t 循环层的输出值，以及误差项。
回忆一下我们在文章零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法介绍的全连接网络的权重梯度计算算法：只要知道了任意一个时刻的误差项，以及上一个时刻循环层的输出值，就可以按照下面的公式求出权重矩阵在t时刻的梯度：
在式5中，表示t时刻误差项向量的第i个分量；表示t-1时刻循环层第i个神经元的输出值。
我们下面可以简单推导一下式5。
我们知道：
因为对W求导与无关，我们不再考虑。现在，我们考虑对权重项求导。通过观察上式我们可以看到只与有关，所以：
按照上面的规律就可以生成式5里面的矩阵。
我们已经求得了权重矩阵W在t时刻的梯度，最终的梯度是各个时刻的梯度之和：