长短时记忆网络(LSTM)基础
往期回顾
在上一篇文章中，我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本文中，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后，我们再介绍一种LSTM的变体：GRU (Gated Recurrent Unit)。 它的结构比LSTM简单，而效果却和LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。最后，我们仍然会动手实现一个LSTM。
长短时记忆网络是啥
我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中推导的，误差项沿时间反向传播的公式：
我们可以根据下面的不等式，来获取的模的上界（模可以看做对中每一项值的大小的度量）：
我们可以看到，误差项从t时刻传递到k时刻，其值的上界是的指数函数。分别是对角矩阵和矩阵W模的上界。显然，除非乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当乘积小于1）或者极大（当乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。
梯度消失到底意味着什么？在零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：
假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：
我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。
既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。
其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：
新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：
上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值、上一时刻LSTM的输出值、以及上一时刻的单元状态；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值、和当前时刻的单元状态。注意、、都是向量。
LSTM的关键，就是怎样控制长期状态c。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：
接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。
长短时记忆网络的前向计算
前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设W是门的权重向量，是偏置项，那么门可以表示为：
门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。
LSTM用两个门来控制单元状态c的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态有多少保留到当前时刻；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入有多少保存到单元状态。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态有多少输出到LSTM的当前输出值。
我们先来看一下遗忘门：
上式中，是遗忘门的权重矩阵，表示把两个向量连接成一个更长的向量，是遗忘门的偏置项，是sigmoid函数。如果输入的维度是，隐藏层的维度是，单元状态的维度是（通常），则遗忘门的权重矩阵维度是。事实上，权重矩阵都是两个矩阵拼接而成的：一个是，它对应着输入项，其维度为；一个是，它对应着输入项，其维度为。可以写为：
下图显示了遗忘门的计算：
接下来看看输入门：
上式中，是输入门的权重矩阵，是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：
接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：
下图是的计算：
现在，我们计算当前时刻的单元状态。它是由上一次的单元状态按元素乘以遗忘门，再用当前输入的单元状态按元素乘以输入门，再将两个积加和产生的：
符号表示按元素乘。下图是的计算：
这样，我们就把LSTM关于当前的记忆和长期的记忆组合在一起，形成了新的单元状态。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：
下图表示输出门的计算：
LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：
下图表示LSTM最终输出的计算：
式1到式6就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。