连续信号（八）| 傅里叶变换的性质 | 积分、微分特性 + 时域、频域卷积 + 帕斯瓦尔

傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式：时域描述和频域描述。

1. 线性

$x_1(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_1(w) \\ x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_2(w)$x1​(t)↔FX1​(w)x2​(t)↔FX2​(w)

则
$a_1x_1(t)+a_2x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}a_1X_1(w)+a_2X_2(w)$a1​x1​(t)+a2​x2​(t)↔Fa1​X1​(w)+a2​X2​(w)
式中$a_1,a_2$a1​,a2​为任意常数。

2. 奇偶性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则有
$x^*(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X^*(w)$x∗(t)↔FX∗(w)
当$x(t)$x(t)为实函数时，有$x(t)=x^*(t)$x(t)=x∗(t)，得
$X(w)=X^*(-w)$X(w)=X∗(−w)
表明实函数的傅里叶变换具有共轭对称性

由傅里叶变换定义，有
$X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)coswtdt-j\int_{-\infty}^{\infty}x(t)sinwtdt \\ =Re(w)+jIm(w)=|X(w)|e^{j\varphi(w)}$X(w)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt=∫−∞∞​x(t)coswtdt−j∫−∞∞​x(t)sinwtdt=Re(w)+jIm(w)=∣X(w)∣ejφ(w)
频谱函数的幅度和相位分别为
$|X(w)|=\sqrt{Re^{2}(w)+Im^2(w)} \\ \varphi(w)=arctan(\frac{Im(w)}{Re(w)})$∣X(w)∣=Re2(w)+Im2(w)​φ(w)=arctan(Re(w)Im(w)​)

3. 对偶性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则
$X(t)\overset{F}{\leftrightarrow}2\pi x(-w)$X(t)↔F2πx(−w)
对偶性表明了时域函数$x(t)$x(t)和频域函数$X(w)$X(w)之间的对偶关系，例如单位冲激信号和单位直流信号满足这种关系，有
$F[\delta(t)]=1$F[δ(t)]=1
由对偶性有
$F[1]=2\pi\delta(-w)$F[1]=2πδ(−w)
由于$\delta(w)$δ(w)是w的偶函数，即$\delta(w)=\delta(-w)$δ(w)=δ(−w)，故有
$F[1]=2\pi \delta(w)$F[1]=2πδ(w)
例3：求取样函数$Sa(t)=\frac{sint}{t}$Sa(t)=tsint​的傅里叶变换。

解：宽度为$\tau$τ，幅度为E的矩形脉冲信号$g(t)$g(t)的傅里叶变换为
$F[g(t)]=E\tau Sa(\frac{w\tau}{2})$F[g(t)]=EτSa(2wτ​)
若取$E=\frac{1}{2},\tau=2$E=21​,τ=2，则
$F[g(t)]=Sa(w)$F[g(t)]=Sa(w)
由对偶性，以及已知矩形脉冲信号$g(t)$g(t)是偶函数
$F[Sa(t)]=2\pi g(w) = \begin{cases} \pi & |w|<1 \\ 0 & |w|>1 \end{cases}$F[Sa(t)]=2πg(w)={π0​∣w∣<1∣w∣>1​

4. 尺度变换特性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则对于实常数a有
$x(at)\overset{F}{\leftrightarrow}\frac{1}{|a|}X(\frac{w}{a}) \tag{6}$x(at)↔F∣a∣1​X(aw​)(6)
这一性质表明，在时域上将信号$x(t)$x(t)压缩到$\frac{1}{a}$a1​倍，则在频域上其频谱扩展$a$a倍，同时幅度相应地减小到$\frac{1}{a}$a1​倍。也就是说，信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频带的展宽；反之，信号波形在时域的扩展，意味着频域中信号频带的压缩。在数字通信技术中，必须压缩矩形脉冲的宽度以提高通信速率，这时必须展宽信道的频带。

式（6）中，对于$a=-1$a=−1，则
$x(-t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(-w)$x(−t)↔FX(−w)
表明信号在时域的翻转，对应着其频谱在频域的翻转。

下图表示了单位矩形脉冲信号尺度变换$(a=3)$(a=3)

5. 时移特性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则对于常数$t_0$t0​有
$x(t\pm t_0)\overset{F}{\leftrightarrow}e^{\pm jwt_0}X(w)$x(t±t0​)↔Fe±jwt0​X(w)
上式表明，信号在时域中沿时间轴右移（或左移）$t_0$t0​，即延时（或超前）$t_0$t0​，则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位产生$-wt_0$−wt0​（或$+wt_0$+wt0​）的变化。

若信号$x(t)$x(t)既有时移，又有尺度变换时，则有
$F[x(at-b)]=\frac{1}{|a|}e^{-j\frac{b}{a}w}X(\frac{w}{a})$F[x(at−b)]=∣a∣1​e−jab​wX(aw​)
式中，a和b为实常数，且$a\neq 0$a​=0

6. 频移特性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则对于常数$w_0$w0​有
$x(t)e^{jw_0t}\overset{F}{\leftrightarrow}X(w-w_0)$x(t)ejw0​t↔FX(w−w0​)

$x(t)e^{-jw_0t}\overset{F}{\leftrightarrow}X(w+w_0)$x(t)e−jw0​t↔FX(w+w0​)

频移特性表明，在时域将信号$x(t)$x(t)乘以因子$e^j{w_0t}$ejw0​t（或$e^{-jw_0t}$e−jw0​t），对应于在频域将原信号的频谱右移（或左移）$w_0$w0​，即往高频段（或低频段）平移$w_0$w0​，实行频谱的搬移。这就是通信工程中常用的调制技术，该技术将调制信号$x(t)$x(t)乘以正弦或余弦信号（常称为载频信号），这个过程在时域中由信号$x(t)$x(t)改变正弦或余弦信号的幅度，在频域中则是使$x(t)$x(t)的频谱右移，将发送信号的频谱搬移到适合信道传输的较高频率范围，因此频移特性也称为调制特性。

设信号$x(t)$x(t)由角频率为$w_0$w0​的余弦信号$cosw_0t$cosw0​t调制，根据频移特性有
$F[x(t)cosw_0t]=F[x(t)\frac{e^{jw_0t}+e^{-jw_0t}}{2}] \\ =\frac{1}{2}F[x(t)e^{jw_0t}]+\frac{1}{2}F[x(t)e^{-jw_0t]}] \\ =\frac{1}{2}X(w-w_0)+\frac{1}{2}X(w+w_0)$F[x(t)cosw0​t]=F[x(t)2ejw0​t+e−jw0​t​]=21​F[x(t)ejw0​t]+21​F[x(t)e−jw0​t]]=21​X(w−w0​)+21​X(w+w0​)
同样可求得
$F[x(t)sinw_0t]=\frac{1}{2}jX(w+w_0)-\frac{1}{2}jX(w-w_0)$F[x(t)sinw0​t]=21​jX(w+w0​)−21​jX(w−w0​)
例4：求矩形调幅信号$x(t)=g(t)cosw_0t$x(t)=g(t)cosw0​t的频谱，其中$g(t)$g(t)为$E=1$E=1，宽度为$\tau$τ的矩形脉冲。

解：矩形脉冲的频谱函数为
$G(w)=F[g(t)]=\tau Sa(\frac{w\tau}{2})$G(w)=F[g(t)]=τSa(2wτ​)
根据频移特性式，有
$X(w)=F[g(t)cosw_0t]=\frac{1}{2}G(w-w_0)+\frac{1}{2}G(w+w_0) \\ =\frac{\tau}{2}Sa[\frac{(w-w_0)\tau}{2}]+\frac{\tau}{2}Sa[\frac{(w+w_0)\tau}{2}]$X(w)=F[g(t)cosw0​t]=21​G(w−w0​)+21​G(w+w0​)=2τ​Sa[2(w−w0​)τ​]+2τ​Sa[2(w+w0​)τ​]

可见，时间信号$g(t)$g(t)去调制角频率为$w_0$w0​的余弦（或正弦信号时），原频谱$G(w)$G(w)一分为二，各向左、右移动$w_0$w0​，在移动过程中幅度谱的形式保持不变。从另一角度看，$x(t)$x(t)是余弦信号在矩形窗函数的作用下突然截断，因而把原来集中在$w_0$w0​的冲激谱线变成连续谱线，使信号功率分散。

7. 微分特性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则有
$\frac{d^nx(t)}{dt^n}\overset{F}{\leftrightarrow}(jw)^nX(w)$dtndnx(t)​↔F(jw)nX(w)
这一特性表明，时域的微分运算对应于频域乘以$jw$jw因子，相应地增强了高频成分。

8. 积分特性

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则有
$\int_{-\infty}^tx(\tau)\tau\overset{F}{\leftrightarrow}\frac{1}{jw}X(w)+\pi X(0)\delta(w)$∫−∞t​x(τ)τ↔Fjw1​X(w)+πX(0)δ(w)
该性质表明，时域的积分运算对应于频域乘以$\frac{1}{jw}$jw1​因子，相应地增强了低频成分，减少了高频成分。

9. 帕斯瓦尔（Parseval）定理

若
$x(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X(w)$x(t)↔FX(w)
则有
$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|^2dw$∫−∞∞​∣x(t)∣2dt=2π1​∫−∞∞​∣X(w)∣2dw
该式为有限能量信号的帕斯瓦尔公式，等式左边表示有限能量信号$x(t)$x(t)的总能量E，对于实信号有$x^2(t)=|x(t)|^2$x2(t)=∣x(t)∣2。帕斯瓦尔定理表明，信号的总能量也可由频域求得，即从单位频率的能量$(|X(w)|^2/(2\pi))$(∣X(w)∣2/(2π))在整个频率范围内积分得到。因此，$|X(w)|^2$∣X(w)∣2（或者$|X(w)|^2/(2\pi)$∣X(w)∣2/(2π)）反映了信号的能量在各频率的相对大小，常称为能量密度谱，简称能谱，记为$E(w)$E(w)，即
$E(w)=|X(w)|^2 \tag{8}$E(w)=∣X(w)∣2(8)
显然，信号的能谱$E(w)$E(w)是w的偶函数，因此，信号的总能量也可写为
$E=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}E(w)dw$E=π1​∫0∞​E(w)dw
式（8）还表明，信号的能谱$E(w)$E(w)只与幅度频谱$|X(w)|$∣X(w)∣有关，不含相位信息，因而不可能从能谱$E(w)$E(w)中恢复原信号$x(t)$x(t)，但它对充分利用信号能量，确定信号的有效带宽起着重要作用。

一般地，信号占有的等效带宽与脉冲的持续时间成反比，在工程中为了有利于信号的传输，往往生成各种能量比较集中的信号。

有限能量信号的帕斯瓦尔公式与周期信号的帕斯瓦尔公式是直接对应的，前者描述了能量有限信号总能量对各频率（连续）的分配关系，后者描述了功率有限信号的总平均功率对各频率（离散）的分配关系。

10. 时域卷积定理

若
$x_1(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_1(w),x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_2(w)$x1​(t)↔FX1​(w),x2​(t)↔FX2​(w)
则
$x_1(t)*x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_1(w)X_2(w)$x1​(t)∗x2​(t)↔FX1​(w)X2​(w)
该定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频域中该两信号频谱的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算，简化了运算过程。

11. 频域卷积定理

若
$x_1(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_1(w),x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}X_2(w)$x1​(t)↔FX1​(w),x2​(t)↔FX2​(w)
则
$x_1(t)x_2(t)\overset{F}{\leftrightarrow}\frac{1}{2\pi}X_1(w)*X_2(w)$x1​(t)x2​(t)↔F2π1​X1​(w)∗X2​(w)
两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积。

时域卷积和频域卷积形成对偶关系。