泛函，变分，欧拉-拉格朗日方程

∫f(Z)p(Z)dZ$\int f(Z)p(Z)dZ$如何理解？假设Z={z1,z2,...,zn}$Z=\{z_1,z_2,...,z_n\}$。在概率分布里面标量和向量Z$Z$都是一个意思，没什么特殊的。p(Z)$p(Z)$的本质是一个实数，那么p(Z)=p(z1,z2,...,zn)$p(Z)=p(z_1,z_2,...,z_n)$，无非是个多元函数而已。再看dZ$dZ$，如果是离散的情况，也就是定义域中每个不同的Z$Z$带进去求和而已。如果是连续情况，等于不同维度上依次进行积分。

当做多元函数看待即可。多元函数的每个自变量，或者Z$Z$中的每个维度，在概率模型中都对应一个随机变量。随机变量之间的关系、相关性，都由概率函数p(Z)$p(Z)$给出。

第一个不明白的点，就是伪p(zi)$伪p(z_i)$怎么就是概率分布，积分等于1么？？如何证明？？不是随便一个函数都可以写成概率分布吧！！但可以通过在所有自变量上求和或者积分得到归一化因子。

0，希尔伯特空间，泛函分析

希尔伯特空间：：

两个点的距离，一般是加上绝对值，|x−y|
两个曲线的距离。
两个函数的距可以是：(f−g)2进行积分，也就是函数之间面积。也可以是max|f−g|，差距最大的值。
两个学者之间的距离，比如合作发表的论文，关注的领域的多少。
两个人的经历相似度，两个人的默契程度，都可以度量两个人之间的心灵距离。
这么多距离，距离到底是什么？
两点的距离，比如可以是：1，(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\sqrt{(x1-x2{)}^2+(y1-y2{)}^2}$，2，|x1−x2|+|y1−y2|，3，max(|x1−x2|,|y1−y2|)
水果：可以吃的额含水分多的植物果实的同城，如苹果，梨子，桃子。
热带水果：生在热带的水果。
限制多了，内涵多了，外延少。
天下没有水果。水果是抽象的概念，是不存在的。

距离定义：x是一个非空集合，任给集合元素xy，那么d(x,y)满足1，非负性，自己到自己是0，2，对称性，x到y，y到x相等，3，三角不等式，xy小于等于xz加zy。

所以前面的点到点的距离中，不能是min(|x1−x2|,|y1−y2|)，否则，不满足三角不等式。比如三个点a(0,1)，b(0,0)，c(1,0)。。也可能不满足第一条，为0必须是相等。a和b的距离是0，但是不相等。

线性空间，满足：加法的交换律，结合律，零元，负元。数乘的交换律，单位1。数乘与加法的结合律。

范数，x到零点的距离，就是范数。
范数相对于距离，多了一个限制||ax||=|a|||x||
范数相对于距离是更具体的。范数是距离，但距离不一定是范数。
因为两点的距离，可以先做线性运算，c=a-b。然后再求c的范数，也就是a到b的距离了。
所以有范数的线性空间是，有距离的。
而且范数是更具体的距离，多了一个||ax||=|a|||x||限制。

赋予范数或者距离的集合分别是：赋范空间和度量空间。
在加上线性结构，就是线性赋范空间和线性度量空间。

相同的向量的内积等于范数。内积可以引出夹角，距离等。内积可以的导出范数。

内积空间的完备空间是希尔伯特空间。
完备空间。是指取极限，还在空间内。
巴拿赫空间是完备的赋范空间。（范数比内积定义更宽松），是有线性结构的。

范数定义强化了距离。
内积是较距离和范数有更多的内涵。
拓扑是弱化了的距离。
拓扑 距离 范数 内积

拓扑空间：欧几里得集合学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。比如学号。
设X是一个集合， O是一些X的子集构成的族，则(X,O)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：
1. 空集和 X 属于 O ，
2. O 中任意多个元素的并仍属于O ，
3. O中有限个元素的交仍属于 O 。
这时， X 中的元素成为点（point）， O 中的元素成为开集（open set）。我们也称 O是X上的一个拓扑。

空间：第一要问是元素是什么，第二要问规则是什么。

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泛函分析：：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_3f2ab0a50100066s.html
泛函就是以函数为自变量的函数.
比如曲线的长度,闭合曲线围成的面积等都和曲线的函数是一种泛函关系.设对于任何y(x),有另一个数J[y]与之对应,则称J[y]为y(x)的泛函. 这里的定义域,即函数集合,通常包含要求y(x)满足的一定边界条件,并且具有连续的二阶导数. 泛函和复合函数不同,泛函必须给出区间上整个函数y(x),才可以得到一个泛函值.

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
一、赋范线性空间
从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。
1. 希尔伯特空间
希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
2. 巴拿赫空间
一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。
对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

二、主要结果和定理
泛函分析的主要定理包括：
1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。
2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
4. 开映射定理和闭图像定理。

三、泛函分析与选择公理
泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn’s Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。

四、泛函分析的研究现状
泛函分析目前包括以下分支：
1. 软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
2. 巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。
3. 非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。
4. 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

可能最好了解一下算子和微分算子。
算子：：是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。广义上的算子可以推广到任何空间，如内积空间等

1，欧拉-拉格朗日方程

变分是什么？