数据库复习——关系数据理论中的几个重要概念（闭包，逻辑蕴含，覆盖...）

前言

关系数据理论中几个比较抽象的概念

正文

函数依赖

• 定义
  设R(U)是属性集合U={A1,A2,…,An}上的一个关系模式，X, Y是U上的两个子集，若对R(U)的任意一个可能的关系r, r中不可能有两个元组满足在X中的属性值相等而在Y中的属性值不等，则称“X函数决定Y”或“Y函数依赖于X”, 记作X→Y。
• 函数依赖的特性
  (1)对X→Y，但Y∉X, 则称X→Y为非平凡的函数依赖；
  (2)若X→Y，则任意两个元组，若X上值相等，则Y上值必然相等,则称X为决定因素；
  (3)若X→Y ，Y→X, 则记作X↔Y；
  (4)若Y不函数依赖于X，则记作X $\nRightarrow$⇏ Y；
  (5)X→Y，有基于模式R的，则要求对任意的关系r成立；有基于具体关系r的，则要求对某一关系r成立；
  (6)如一关系r的某属性集X, r中根本没有X上相等的两个元组存在，则X→Y恒成立；

逻辑蕴含是什么

设F是关系模式R(U)中的一个函数依赖集合，X, Y是R的属性子集，如果从F中的函数依赖能够推导出X→Y，则称F逻辑蕴涵X→Y, 或称X→Y是F的逻辑蕴涵。

比如：F含有依赖关系A→B，B→C, 则可推出A→C，所以F逻辑蕴含A→C

闭包是什么

被F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合称为F的闭包(Closure)，记作 F+。

• 闭包是由关系模式R直观得到的函数依赖F所推出的所有隐含的或未隐含的(直观的)函数依赖的集合
• 小集合大闭包，包含了平凡的函数依赖

示例：设R=ABC,F={A→B,B→C},则F+的组成如下，即由如下形式的X→Y构成：
(1)X包含A,而Y任意， 如ABC→AB,A→C,AB→BC,…
(2)X包含B但不含A且Y不含A,如BC→B,B→C,B→Φ,…
(3)X→Y是C→C或C→Φ

属性(集)闭包

对R(U, F), X→U, U = { A1,A2,…,An}, 令：
X+F = { Ai | 用Armstrong Axiom A1,A2,A3可从F导出X→Ai } 称X+F为X关于F的属性(集)闭包。
简单说就，就是能由X在F范围内，能推导出来的所有属性的集合

覆盖和最小覆盖

覆盖：对R(U)上的两个函数依赖集合F、G, 如果F+= G+，则称F和G是等价的，也称F覆盖G或者G覆盖F。
若F满足以下条件，则称F为最小覆盖(minimal Cover)或最小依赖集若F满足以下条件，则称F为最小覆盖(minimal Cover)或最小依赖集(minimal set of Functional Depandency)：

1. F中每个函数依赖的右部是单个属性； （右边只有一个属性）
2. 对任何X→A∈F, 有F - { X→A }不等价于F；（每个函数依赖不可或缺）
3. 对任何X→A∈F, Z→X, ( F - { X→A })∪{Z→A}不等价于F。（每个函数依赖的左端都没有多余属性）

注意：每个函数依赖集F都有等价的最小覆盖F’。