数学基础知识 集合
1、集合的定义
一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素的组成总体称为集合。简称集
2、集合的描述
我们通常使用大写字母A、B、C来表示集合,用小写字母来a,b,c来表示元素
记作:A = {a,b,c,d}
a 这个元素属于集合A,记作: a ∈ A
e 这个元素不属于集合A,记作: e ∉ A
我们如何表示 x > 6 的数集?
B = {x ∈ R | x > 6}
R:代表实数集,如果是实数集,那么也可以写成:
B = { x | x > 6}
3、集合的特性
确定性、互异性、无序性
确定性: 给定一个集合,那么这个集合的元素就是确定的
比如:小于5的正整数,分别有 1,2,3,4
只有这四个元素,记作:A = {1,2,3,4}
再比如:身材较高的人,这个就不能构成一个集合,怎样才算较高呢,没有一个准确的标准。
互异性:
集合中每个元素都是唯一的
无序性
小于5的正整数
A = {1,2,3,4}
也可以写作:A = {2,1,4,3}
数学中常用的数集
1、自然数集(N)
2、正整数集(N*)
3、整数集(Z)
4、有理数集(Q)
5、实数集®
数集包含关系如下:
子集:
如果一个集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系
记作:A ⊆ B 或 B ⊇ A
关系如下:
或
特别地:任何一个集合是它本身的子集
即:A ⊆ A
真子集
如果集合A ⊆ B ,而且至少存在一个元素属于B而不属于A,那么集合A为集合B的真子集
关系如下:
空集
不含任何元素的集合称为空集,空集是任何集合的子集
对于集合A,B,C
如果 A ⊆ B B ⊆ C,那么A ⊆ C
如果一个集合的元素有n个,那么它的子集有2^n
个,非空子集有2^n - 1
个,子集有2^n - 1
个,非空真子集有2^n - 2
个
4、集合的基本运算
并集
由所有属于A或属于B的元素组成的集合
记作:A U B
交集
既属于A又属于B的元素组成的集合
记作:A ∩ B
补集
全集U 和 子集A
A ⊆ U
补集就是阴影部分的所有元素集合
集合A的补集记作