在数学里，特别是将线性代数套用到物理时，爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的^[1]。后来，爱因斯坦与友人半开玩笑地说^[2]：“这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变量出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。但是，标值可以有任意值域，甚至（在某些应用案例里）无限集合。这样，在三维空间里，

的意思是

。

请特别注意，上标并不是指数，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里， 、 、 分别表示 坐标、 坐标、 坐标，而不是 一次方、 二次方、 三次方。

 

简介

爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量：

。

通常会将这写为求和公式形式：

。

在基底变换之下，标量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换可以用矩阵来描述，而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数（即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号：

采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变量的一次方。在方程式里，单独项目内的标号变量最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。

向量的表示

在线性代数里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量（又称为1-形式）。向量的分量是用上标来标明，例如， 。给予一个 维向量空间 和其任意基底 （可能不是标准正交基），那么，向量 表达为

。

余向量的分量是用下标来标明，例如， 。给予 的对偶空间 和其任意基底 （可能不是标准正交基），那么，余向量 表达为

。

采用向量的共变和反变术语，上标表示反变向量（向量）。对于基底的改变，从 改变为 ，反变向量会变换为

；

其中， 是改变基底后的向量的分量， 是改变基底后的坐标， 是原先的坐标，

下标表示共变向量（余向量）。对于基底的改变，从 改变为 ，共变向量会会变换为

。

 一般运算

矩阵 的第 横排， 第 竖排的元素，以前标记为 ；现在改标记为 。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表达如下：

 内积

给予向量 和余向量 ，其向量和余向量的内积为标量：

。

向量乘以矩阵

给予矩阵 和向量 ，它们的乘积是向量 ：

。

类似地，矩阵 的转置矩阵 ，其与余向量 的乘积是余向量 ：

。

 矩阵乘法

矩阵乘法表达为

。

这表达式等价于较冗长的普通标记法：

。

迹

给予一个方块矩阵 ，总和所有上标与下标相同的元素 ，可以得到这矩阵的迹 ：

。

 外积

M维向量 和N维余向量 的外积是一个M×N矩阵 ：

。

采用爱因斯坦标记式，上述方程式可以表达为

由于 和 代表两个不同的标号，在这案例，值域分别为M和N，外积不会除去这两个标号，而使这两个标号变成了新矩阵 的标号。

 向量的内积

一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量 、 及 来描述三维空间的向量。

。

把直角坐标系的基底向量 、 及 写成 、 及 ，所以一个向量可以写成：

。

根据爱因斯坦求和约定，若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标，则此项代表着所有可能值之总和：

。

由于基底是标准正交基， 的每一个分量 ，所以，

。

两个向量 与 的内积是

。

由于基底是标准正交基，基底向量相互正交归一：

；

其中， 就是克罗内克函数。当 时， 则 ，否则 。

逻辑上，在方程式内的任意项目，若遇到了克罗内克函数 ，就可以把方程式中的标号 转为 或者把标号 转为 。所以，

。

 向量的叉积

采用同样的标准正交基 、 及 ，两个向量 与 的叉积，以方程式表达为

。

注意到

；

其中，张量 是列维-奇维塔符号，定义为

	，若 、 或 （偶置换）
	，若 、 或 （奇置换）
	，若 、 或

所以，

。

设定 ，那么，

。

所以，

。

 向量的共变分量和反变分量

在欧几里得空间 里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有向量 ，通过下述方程式，向量 唯一地确定了余向量 ：

。

逆过来，通过上述方程式，每一个余向量 唯一地确定了向量 。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 的一个基底 ，则必存在一个唯一的对偶基底 ，满足

；

其中，张量 是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量 可以写为两种形式

；

其中， 是向量 对于基底 的反变分量， 是向量 对于基底 的共变分量，

 欧几里得空间

在欧几里得空间 里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底，其基底向量为 、 、 ，就可以计算其对偶基底的基底向量：

；

其中， 是基底向量 、 、 共同形成的平行六面体的体积。

反过来计算，

；

其中， 是基底向量 、 、 共同形成的平行六面体的体积 。

虽然 与 并不相互标准正交，它们相互对偶：

。

虽然 与 并不相互标准正交，它们相互对偶：

。

这样，任意向量 的反变分量为

。

类似地，共变分量为

。

这样， 可以表达为

，

或者，

。

综合上述关系式，

。

向量 的共变分量为

；

其中， 是度规张量。

向量 的反变分量为

;

其中， 是共轭度规张量。

共变分量的标号是下标，反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变分量和反变分量，所有的标号都可以用下标来标记。

抽象定义

思考维度为 的向量空间 。给予一个可能不是标准正交基的基底 。那么，在 内的向量 ，对于这基底，其分量为 、 、... 。以方程式表达，

。

在这方程式右手边，标号 在同一项目出现了两次，一次是上标，一次是下标，因此，从 等于 到 ，这项目的每一个可能值都必须总和在一起。

爱因斯坦约定的优点是，它可以应用于从 用张量积和对偶性建立的向量空间。例如， ， 与自己的张量积，拥有由形式为 的张量组成的基底。任意在 内的张量 可以写为

。

向量空间 的对偶空间 拥有基底 ，遵守规则

；

其中， 是克罗内克函数。

 范例

为了更明确地解释爱因斯坦求和约定，在这里给出几个简单的例子。

• 思考四维时空，标号的值是从０到３。两个张量，经过张量缩并（tensor contraction）运算后，变为一个标量：

。

• 方程式的右手边有两个项目：

。

由于运算结果与标号 和 无关，可以被其它标号随意更换， 所以， 和 称为傀标号。

自由标号是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里，而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里， 是自由标号，每一个项目都必须有同样的自由标号。注意到在项目 里，标号 出现了两次，一次是上标，一次是下标，所以，这项目的所有可能值都必须总和在一起。称 为求和标号。

• 思考在黎曼空间的弧线元素长度 ：

。请将这两种标号跟自由变量和约束变量相比较。

进一步扩展，

。

注意到 是 乘以 ，是 ，而不是 坐标的微小元素。当有疑虑时，可以用括号来分歧义。

参阅

• 狄拉克标记
• 抽象指标记号
• 潘洛斯图形标记法（Penrose graphical notation）

 参考文献

• Kuptsov, L.P., Einstein rule//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 .