[转载]爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定
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在数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法(Einstein notation),在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的[1]。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说[2]:“这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”
按照爱因斯坦求和约定,当一个单独项目内有标号变量出现两次,一次是上标,一次是下标时,则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言,标号的标值为1、2、3(代表维度为三的欧几里得空间),或0、1、2、3(代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空)。但是,标值可以有任意值域,甚至(在某些应用案例里)无限集合。这样,在三维空间里,
的意思是
- 。
请特别注意,上标并不是指数,而是标记不同坐标。例如,在直角坐标系里, 、 、 分别表示 坐标、 坐标、 坐标,而不是 一次方、 二次方、 三次方。
简介
- 。
通常会将这写为求和公式形式:
- 。
在基底变换之下,标量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号:
采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程式都是线性,不超过变量的一次方。在方程式里,单独项目内的标号变量最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。
向量的表示
在线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如, 。给予一个 维向量空间 和其任意基底 (可能不是标准正交基),那么,向量 表达为
- 。
余向量的分量是用下标来标明,例如, 。给予 的对偶空间 和其任意基底 (可能不是标准正交基),那么,余向量 表达为
- 。
采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从 改变为 ,反变向量会变换为
- ;
其中, 是改变基底后的向量的分量, 是改变基底后的坐标, 是原先的坐标,
下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从 改变为 ,共变向量会会变换为
- 。
一般运算
矩阵 的第 横排, 第 竖排的元素,以前标记为 ;现在改标记为 。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表达如下:
内积
给予向量 和余向量 ,其向量和余向量的内积为标量:
- 。
向量乘以矩阵
给予矩阵 和向量 ,它们的乘积是向量 :
- 。
类似地,矩阵 的转置矩阵 ,其与余向量 的乘积是余向量 :
- 。
矩阵乘法
矩阵乘法表达为
- 。
这表达式等价于较冗长的普通标记法:
- 。
迹
给予一个方块矩阵 ,总和所有上标与下标相同的元素 ,可以得到这矩阵的迹 :
- 。
外积
M维向量 和N维余向量 的外积是一个M×N矩阵 :
- 。
采用爱因斯坦标记式,上述方程式可以表达为
由于 和 代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵 的标号。
向量的内积
一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量 、 及 来描述三维空间的向量。
- 。
把直角坐标系的基底向量 、 及 写成 、 及 ,所以一个向量可以写成:
- 。
根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:
- 。
由于基底是标准正交基, 的每一个分量 ,所以,
- 。
两个向量 与 的内积是
- 。
由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:
- ;
其中, 就是克罗内克函数。当 时, 则 ,否则 。
逻辑上,在方程式内的任意项目,若遇到了克罗内克函数 ,就可以把方程式中的标号 转为 或者把标号 转为 。所以,
- 。
向量的叉积
采用同样的标准正交基 、 及 ,两个向量 与 的叉积,以方程式表达为
-
- 。
注意到
- ;
其中,张量 是列维-奇维塔符号,定义为
,若 、 或 (偶置换) | |
,若 、 或 (奇置换) | |
,若 、 或 |
所以,
- 。
设定 ,那么,
- 。
所以,
- 。
向量的共变分量和反变分量
在欧几里得空间 里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量;对于所有向量 ,通过下述方程式,向量 唯一地确定了余向量 :
- 。
逆过来,通过上述方程式,每一个余向量 唯一地确定了向量 。由于这向量与余向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。
给予 的一个基底 ,则必存在一个唯一的对偶基底 ,满足
- ;
其中,张量 是克罗内克函数。
以这两种基底,任意向量 可以写为两种形式
- ;
其中, 是向量 对于基底 的反变分量, 是向量 对于基底 的共变分量,
欧几里得空间
在欧几里得空间 里,使用内积运算,能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底,其基底向量为 、 、 ,就可以计算其对偶基底的基底向量:
- ;
其中, 是基底向量 、 、 共同形成的平行六面体的体积。
反过来计算,
- ;
其中, 是基底向量 、 、 共同形成的平行六面体的体积 。
虽然 与 并不相互标准正交,它们相互对偶:
- 。
虽然 与 并不相互标准正交,它们相互对偶:
- 。
这样,任意向量 的反变分量为
- 。
类似地,共变分量为
- 。
这样, 可以表达为
- ,
或者,
- 。
综合上述关系式,
- 。
向量 的共变分量为
- ;
其中, 是度规张量。
向量 的反变分量为
- ;
其中, 是共轭度规张量。
共变分量的标号是下标,反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变分量和反变分量,所有的标号都可以用下标来标记。
抽象定义
思考维度为 的向量空间 。给予一个可能不是标准正交基的基底 。那么,在 内的向量 ,对于这基底,其分量为 、 、... 。以方程式表达,
- 。
在这方程式右手边,标号 在同一项目出现了两次,一次是上标,一次是下标,因此,从 等于 到 ,这项目的每一个可能值都必须总和在一起。
爱因斯坦约定的优点是,它可以应用于从 用张量积和对偶性建立的向量空间。例如, , 与自己的张量积,拥有由形式为 的张量组成的基底。任意在 内的张量 可以写为
- 。
向量空间 的对偶空间 拥有基底 ,遵守规则
- ;
其中, 是克罗内克函数。
范例
为了更明确地解释爱因斯坦求和约定,在这里给出几个简单的例子。
- 思考四维时空,标号的值是从0到3。两个张量,经过张量缩并(tensor contraction)运算后,变为一个标量:
- 。
- 方程式的右手边有两个项目:
- 。
- 由于运算结果与标号 和 无关,可以被其它标号随意更换, 所以, 和 称为傀标号。
- *标号是没有被总和的标号。*标号应该出现于方程式的每一个项目里,而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里, 是*标号,每一个项目都必须有同样的*标号。注意到在项目 里,标号 出现了两次,一次是上标,一次是下标,所以,这项目的所有可能值都必须总和在一起。称 为求和标号。
- 思考在黎曼空间的弧线元素长度 :
-
- 。请将这两种标号跟*变量和约束变量相比较。
- 进一步扩展,
-
- 。
-
- 注意到 是 乘以 ,是 ,而不是 坐标的微小元素。当有疑虑时,可以用括号来分歧义。
参阅
参考文献
- ^ Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity (PDF), Annalen der Physik. 1916 [2006-09-03]
- ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications. 1992: pp. 5, ISBN 9780486671642
-
Kuptsov, L.P., Einstein rule//Hazewinkel, Michiel,
数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001,
ISBN
978-1556080104 .