应用Maple软件推导直升机旋翼的气动力和力矩

首先，看一下应用Maple推导的直升机旋翼的拉力、侧向力、后向力和反扭矩系数的总体效果：

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1 文章目的
接触过直升机的人都知道，南航直升机专业的两本入门教材：《直升机空气动力学》（主编：王世存老师）和《直升机飞行动力学》（主编：高正老师）都涉及大量的公式，公式之复杂使人看而生叹。但是如果不了解这些公式是如何推导出来的，对于理解直升机的本质是很困难的。但值得一提的是，上述两本教材的公式均是纯手工推导，这里我由衷地佩服老一辈直升机人的耐心和细致程度。

为了能帮助更多的人学习直升机知识，同时也为了传承老一辈直升机人的成果（毕竟就算是南航直升机专业的研究生也没有多少人推导过这些公式），在者也为了让更多的人知道借助Maple软件学习专业知识，故本人结合自己之前的一个项目，将上述教材中的气动力和力矩系数推导过程分享给大家。

2 推导过程
推导过程是采用叶素理论（即将将直升机旋翼桨叶离散成若干单元，桨叶单元即为叶素），整体思路是：
① 计算出叶素的气动力，进而得到桨叶的微元拉力、侧向力、后向力和反扭矩；
② 分别进行周向积分（即对方位角积分）和径向积分（即对桨叶半径积分），并乘以桨叶片数，得到整个旋翼的力和力矩；
③ 化简，并进行无量纲化，得到拉力、侧向力、后向力和反扭矩系数。

Maple软件的具体实现如下：
（1）计算微元气动力和力矩如下：

计算上面四个式子，需要带入叶素的切向气流速度uT、垂向气流速度uP、桨叶挥舞角β以及叶素的气动升力dY、气动阻力dX。
注：上述式子黑色为用户手动输入，蓝色为Maple的计算输出结果。

（2）进行周向和径向积分
① 拉力（Ts）

上面使用了Maple软件的内部函数：展开函数expand和积分函数int。其中k为桨叶片数。

②后向力（Hs）

侧向力Ss及反扭矩Mk也是采用同样的方法。

（3）化简及无量纲化

应用旋翼实度σ进行化简，引入fF和fM进行无量纲化，最终可获得旋翼拉力系数CT、后向力系数CH、侧向力系数CS和反扭矩系数mk如下：




上面的结果已经和教材《直升机飞行动力学》上的结果进行了比较，与书上是完全一致的。注意，此处推导结果的适用条件为：挥舞铰偏置量为0，诱导速度为均匀入流。

3 结语
本文的推导过程是整个气动力和力矩系数推导的最后一部分，在其前面还应推导如下内容：
①叶素的绝对速度uT和uP的具体表达式；;
②微元气动力和力矩dTs、dHs、dSs和dMk是如何得到的；
③桨叶挥舞运动系数a0、a1s和b1s的具体表达式。

本人有上述全部的、详细的推导过程，并且将Maple的推导结果生成了Matlab代码，用于Simulink的直升机飞行动力学建模，有兴趣的同志可以联系我。当然，如果对于Maple公式推导和Simulink建模感兴趣的，也可以联系我。

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