一维正态分布的最大似然估计
正态分布密度函数是:
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布,记为N(μ,σ2)。当μ=0,σ2=1是,称为标准正态分布。不需要记住这个复杂的公式,知道它的意义即可,在使用时可以随时查阅。
在研究正态分布时,我们认为每个样本都是等权的,因此μ是随机变量的均值,控制了曲线的位置,σ2控制了曲线的陡峭程度:
σ2越小,样本越靠近μ:
在上图中,当σ=0.2时,曲线更陡峭,倒钟更窄,样本更向μ处集中。
最大似然估计量
随机变量X服从正态分布:
如果有n个可观察样本,根据最大似然函数的公式:
其中:
取对数似然函数,并根据对数计算公式继续化简:
由①可以得知:
现在可以得出最终结论: