《多元统计分析》学习笔记之判别分析

鄙人学习笔记

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判别分析

本章介绍的判别分析适用于被解释变量是非度量变量的情形。在这种情况下，人们对于预测和解释影响一个对象所属类别的关系感兴趣，比如为什么某人是或者不是消费者，一家公司成功还是破产等。

判别分析的基本思想

• 基本思想

当被解释变量是属性变量而解释变量是度量变量时，判别分析是合适的统计分析方法。
当包含两组时，称作两组判别分析。当包含三组或者三组以上时，称作多组判别分析。
判别分析最基本的要求是：分组类型在两组以上；每组案例的规模必须至少在一个以上。解释变量必须是可测量的，才能够计算其平均值和方差，使其能合理地应用于统计函数。

• 判别分析的假设

假设之一是：
每一个判别变量（解释变量）不能是其他判别变量的线性组合。这时，为其他变量线性组合的判别变量不能提供新的信息，更重要的是在这种情况下无法估计判别函数。有时一个判别变量与另外的判别变量高度相关，或与另外的判别变量的线性组合高度相关，虽然能求解，但参数估计的标准误将很大，以至于参数估计统计上不显著。这就是通常所说的多重共线性问题。

假设之二是：
各组变量的协方差矩阵相等。

假设之三是：
各判别变量之间具有多元正态分布，即每个变量对于所有其他变量的固定值有正态分布。在这种条件下可以精确计算显著性检验值和分组归属的概率。

距离判别

两总体情况

设有两个总体G₁ 和G₂，x 是一个p 维样品，若能定义样品到总体G₁ 和G₂ 的距离d（x，G₁）和d（x，G₂），则可用如下的规则进行判别：若样品x 到总体G₁ 的距离小于到总体G₂ 的距离，则认为样品x 属于总体G₁，反之，则认为样品x 属于总体G₂；若样品x 到总体G₁ 和G₂ 的距离相等，则让它待判。这个准则的数学模型可作如下描述：

当总体G₁ 和G₂ 为正态总体且协方差相等时，距离选用马氏距离，即

当总体不是正态分布时，有时也可以用马氏距离来描述x 到总体的远近。
若 ∑ ₁＝ ∑₂ ＝ ∑，这时：

令：

于是判别规则可表示为：

W( x)为判别函数，由于它是线性函数，又称为线性判别函数， α称为判别系数（类似于回归系数）。

当两个总体协差阵∑₁与∑₂不等时，可用：

作为判别函数，这时它是x的二次函数。

当μ1，μ2，∑未知时，可通过样本来估计:

设x₁⁽¹⁾,…,x_n1⁽¹⁾是来自G₁的样本，x₁⁽²⁾,…,x_n2⁽²⁾是来自G₂的样本，可以得到以下估计：

其中，

多总体情况

• 协方差阵相等

设有 k个总体 G₁， G₂，…， G_k，它们的均值分别是 µ₁， µ₂，…， µ_k，协差阵均为 ∑。类似于两总体的讨论，判别函数为：

相应的判别规则是：

当µ₁，µ₂，…，µ_k，∑ 未知时，设从G_a 中抽取的样本为x₁^(a),…,x_na^(a)(a = 1,2,…,k),则它们的估计为：

式中：
n ＝n1 ＋n2 ＋…＋nk

• 协方差阵不同

这时判别函数为：

判别规则为：

当µ 1，µ 2，…，µ k，∑ 1，∑ 2，…，∑ k 未知时：

贝叶斯判别

• 贝叶斯统计的思想

贝叶斯（ Bayes）统计的思想是：假定对研究的对象已有一定的认识，常用先验概率分布来描述这种认识，然后我们取得一个样本，用样本来修正已有的认识（先验概率分布），得到后验概率分布，各种统计推断都通过后验概率分布来进行。将贝叶斯思想用于判别分析，就得到贝叶斯判别。

费歇判别

费歇（ Fisher）判别的思想是投影，将 k组 p维数据投影到某一个方向，使得它们的投影组与组之间尽可能地分开。

如何衡量组与组之间尽可能地分开呢？他借用了一元方差分析的思想。
设从k 个总体分别取得k 组p 维观察值如下：

令a 为R_p 中的任一向量，u（x）＝a′x 为x 向以a 为法线方向的投影，这时，上述数据的投影:

它正好组成一元方差分析的数据。

其组间平方和为：

其组内平方和为：

式中，

如果 k组均值有显著差异，则：

应该充分大，或者：

应该充分大。

所以我们可以求 a，使得∆（ a）达到最大。显然，这个 a并不唯一，因为如果 a使 ∆（·）达到极大，则 ca也使 ∆（·）达到极大， c为任意不等于零的实数。
由矩阵知识，我们知道 ∆（·）的极大值为 λ 1，它是 ∣ B－λ E ∣＝ 0的最大特征根， l₁， l₂，…， l_r为相应的特征向量，当 a＝ l₁时，可使 ∆（·）达到最大。

费歇准则下的线性判别函数 u（ x）＝ a′ x的解 a为方程 ∣ B－λ E ∣＝ 0的最大特征根 λ₁所对应的特征向量 l₁，且相应的判别效率为 ʌ（l₁）＝ λ ₁。

在有些问题中，仅用一个线性判别函数不能很好地区别各个总体，可取 λ 2对应的特征向量 l2，建立第二个判别函数。如还不够，可建立第三个线性判别函数 ，依次类推。

在费歇准则下的判别函数并不唯一，若 u（ x）＝ l′ x为判别函数，则 au（ x）＋ β也为具有与 u（ x）相同判别效率的判别函数。。不唯一性对制定判别规则并没有任何妨碍，我们可从中任取一个。一旦取定了判别函数，根据它就可以确定判别规则。

逐步判别

在多元回归中熟知，变量选择的好坏直接影响回归的效果，而在判别分析中也有类似的问题。理论和实践证明，指标太多了，不仅带来大量的计算，同时许多对判别无作用的指标反而会干扰我们的视线。因此，适当筛选变量的问题就成为一件很重要的事情。

• 逐步判别的原则

逐步判别的原则为：
（一）在 x₁， x₂，…， x_m（即 m个自变量）中先选出一个自变量，它使维尔克斯统计量 ʌ _i（ i＝ 1， 2，…， m）达到最小。
假定挑选的变量次序是按自然的次序，即第 r步正好选中 x_r，第一步选中 x₁，则有 ʌ₁= min{ ʌ_i} (1≤ i ≤ m),并考察 ʌ₁是否落入接受域，如不显著，则表明一个变量也选不中，不能用判别分析；如显著，则进入下一步。
（二）在未选中的变量中，计算它们与已选中的变量 x₁配合的 ʌ值。选择使 ʌ_1i（ 2 ≤ i ≤ m）达到最小的作为第二个变量。
（三）在已选入的 r个变量中，要考虑较早选中的变量中其重要性有没有较大的变化，应及时把不能提供附加信息的变量剔除出去。剔除的原则等同于引进的原则。
（四）这时既不能选进新变量，又不能剔除已选进的变量，将已选中的变量建立判别函数。