深度学习初步，全连接神经网络，MLP从原理到实现（一）原理部分，反向传播详细解释和实际计算例子

其他两篇：

深度学习初步，全连接神经网络，MLP从原理到实现（二）原理部分，过拟合，**函数，batchsize和epochs，训练DL模型的建议

深度学习初步，全连接神经网络，MLP从原理到实现（三）实现部分，用java实现MLP

下面的内容主要是李宏毅老师的机器学习课程，加上自己的整理和补充，文章有点长，有一定的ml基础，认真读就能搞懂，数学部分建议自己手写推导。如果对反向传播部分没有理解，强烈建议多听几遍李宏毅老师机器学习中的bp部分。b站就有资源。

1.多层全连接神经网络

如图是一个多层全连接神经网络，input层是输入层，Layer[1]到Layer[L-1]是隐层,Layer[L]是输出层，层与层之前每两两个单元（神经元或者输出/输入单元）之间存在连接，代表着一个权重，单个神经元干什么事呢？

前一层的输出作为当前层的输入，用权重与输入之间的乘积和+偏置的值Z作为到**函数的输入，**函数的值输出到下一层，这里Z的计算和回归中没有区别，如果**函数是sigmoid就成了logistic回归。

变量命名约定和矩阵化运算:

所有变量上标代表所处的神经网络的第几层

表示L-1层神经元j到l层中神经元i连接的权重

将l-1和l之间的权重排列成矩阵：

这样看矩阵中行的大小就是第L层的神经元个数，矩阵的列就是第L-1层的神经元个数，矩阵中的一行表示了l层中神经元i所连接的l-1层的所有权重。

考虑偏置：

表示第l层第i个神经元和上一层l-1的偏置，这样l层的所有偏置值构成一个向量。

前面提到Z值是输入和权重的乘积和加上偏置。

这里用表示这个值，这也是**函数的输入值

那么l层第i个神经元的z值可以表示为：

 

这样，l层所有神经元Z值可以矩阵化运算

将输入到**函数，其输出值将作为l+1层的输入

矩阵运算可以并行，所以可以使用gpu加速。

 

问题：

（1）将多个线性层叠在一起意味着什么？为什么效果好？

单层线性模型表达不够强，我认为一定程度上参数越多对数据拟合越好，越能深层次挖掘数据的特征，这就好像CRF和HMM的对比，CRF参数更多，效果往往也更好，而CRF这些特征组合都是人为定义的。多层神经网络中可以把中间的隐层认为是一个Feature extractor（特征提取器），不必像CRF那样去自己定义特征，实际上要定义好的有效的特征是很难的，比如面对音频，图像这种数据定义特征就很麻烦，使用深度学习的方法比传统机器学习方法就好得多。自然语言人是能够理解的，所以在nlp中人为定义的特征就可以达到比较好的效果。

 

 

（2）深度学习的“深”

举例：ImgNet比赛的神经网络深度

可以看到随着层数越多错误率不断下降，一定是这样吗？为什么往宽度走，也就是降低层次，提升单层的神经元的数量

 

（3）.仅仅是多层全连接的神经网络就需要调整很多参数。多少层？每层神经元多少个？使用什么**函数？优化算法？代价函数？

 

2.多层全连接神经网络中的反向传播

损失函数有很多均方误差，交叉熵损失函数等等。

把所有样本的损失值加起来为总的损失，参数即为神经网络中的权重，将总的损失优化到最小即为最终的权重参数，优化使用梯度下降，只不过可能是各种梯度下降的变形。

如何计算用于更新参数的偏微分 是一个重要的问题。

 

补充：链式求导法则

要计算 这里L是总的损失，这里求导举例只举例单个样本对参数求导，总的直接所有样本加起来就行，所以以l代表单个样本的损失值。

反向传播：

为了使用梯度下降，需要求出梯度，也就是损失函数L关于权重w的一阶导数。设有N个样本，那么：

因为多个样本和单个样本求梯度没什么差别，所以下面的例子以求单个样本的损失函数（以l表示）对w的导数为例。类似的，专注损失l对某个特定的w的导数而不是所有w，因为其他w的求法都可以类似得到。

对于这样一个简单的nn结构：

关注左上角的局部部分：

损失函数l是在NN的输出端形成的，要求出l对w1的导数，就要利用开始提到的链式求导法则。

Z的值直接影响到了 ，所以链式求导从这里开始。

因为：

很容易直接得到就是x1，因为这里是输入层后的隐层，所以是x1，如果不是，直观的后面任意层的 就是前一层的输入a

没有 这么容易计算，因为z还影响了下一层的输入a，而a又进一步影响后面层的w，这种影响一直延续下去直到输出层。

 

仔细想想这里的Z就类似上图种的s，只不过NN结构中，Z影响到的变量要比图中的s更多。

接着，继续对 展开，Z紧接着送到了**函数σ中，产生了a。所以：

 

就是**函数的导数，写成 。

继续写出 。

根据链式法则：

所以：

如果z'和z''不是输出层，那么这个过程还有继续进行下去。我们把这个过程看作逆向的：

我们将求 这个过程反过来看：

比如：

我们要求 ，那么可以分为2个步骤，

前向传播求出

反向传播求

就是上一层的输出，本层的输入

而 需要从输出层开始计算。

有了 那么前面的 就可以反向回去。

比如：

这样从后往前计算就可以算出所有的 ，最后将 和 乘起来就可以得到 。（注意这里的思维要想成所有的w）

 

下面举一个实际的例子：

 

NN结构如图，规定**函数使用sigmoid，损失函数使用交叉熵，输出层[y1,y2]使用softmax。输入单个样本x1，x2=1，2，y=[1,0]（one-hot编码表示类别是y1）。

补充：softmax和交叉熵输出层的求导。

参考：https://blog.****.net/qian99/article/details/78046329

最后一层softmax做**函数，那么输出a的表达式为：

z就是上一层的输入和权重的乘积求和再加上b

**函数σ(z):

损失函数：

这里l是单个样本，求和是因为多个类别，比如总共有3个类别，如果某个样本的真实类别是2，那么标签是一个向量[0 1 0]，遍历就是要遍历这个向量， 就是指不同类别的真实值（这里就只有y2=1，其他为0）， 就是经过softmax后不同类别的概率分布。

要求的是：

、

这里 代表单个样本的损失，如果是多个样本只需要求和：

 

因为 直接影响了a的值，而因为softmax的特效，所有a的分母部分都包含了 。 影响了所有a的值：

根据链式法则：

 

先来计算 ，因为 ，只对 求偏导，所以其他 均当作常数项。那么:

再计算 ，需要分情况讨论，因为j=i时，a的分子部分含有 。

当i=j：

当i≠j时：

 

 

将上面2种情况组合起来:

所以最后：

有了上面的例子开始计算：

输如样本x=[1,2],y=[1,0],权重初始如图，偏置b都为0.1

（1）先进行一次前向传播，计算所有的神经元输出输出a：

（2）反向传播计算梯度

符号说明：

表示第l（不包含输入层）层第i（从上往下数）个单元产生的z值

表示第l层第x个单元与第l-1层第y个单元之间连接的权重。

计算 ：

第3层：

第2层：

第1层：

有了 ，计算 就很简单了：比如：

（3）向量化/矩阵化运算

但是这样串行的思想不利用计算，需要把上面的计算过程向量化矩阵化。

1）a的计算

其他层的计算类似，输入x变为输入上一层的输出a

2）

其他情况类似推广。

 

3）

 

      

其他情况类似推广。

可以计算梯度后就可以更新参数了。