神经网络介绍
概述
以监督学习为例,假设我们有训练样本集,那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型, 它具有参数, 可以以此参数来拟合我们的数据。
为了描述神经网络(neural networks),我们先从最简单的神经网络讲起, 这个神经网络仅由一个“神经元”构成,以下就是这个“神经元”的图示:
这个“神经元”是一个以及截距+1为输入值的运算单元,其输出为, 其中函数f被称为“**函数”。在本教程中,我们选用sigmoid函数作为**函数
可以看出,这个单一“神经元”的输入输出映射关系其实就是一个逻辑回归(logistic regression)。
虽然本系列教程采用sigmoid函数,但你也可以选择双曲正切函数(tanh):
以下分别是sigmoid及tanh的函数图像
函数是sigmoid函数的一种变体,它的取值范围是[-1,1],而不是sigmoid函数的[0,1]。
注意,我们用单独的参数b来表示截距。
最后要说明的是,有一个属性我们以后会经常用到:如果选择也就是sigmoid函数,那么它的导数就是(如果选择tanh函数,那它的导数就是, 你可以根据sigmoid(或tanh)函数的定义自行推导这个等式。
神经网络模型
所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起,这样,一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如,下图就是一个简单的神经网络:
我们使用圆圈来表示神经网络的输入,标上“+1”的圆圈被称为偏值节点,也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层,最右边的一层叫做输出层,本例中输出层只有一个节点。 中间所有节点组成的一层叫做隐藏层(hidden layer),因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到,以上神经网络的例子中有3个输入单元(偏值单元不计在内),3个隐藏单元及一个输出单元。
下面将列出诸多的公式,这对于表达神经网络至关重要。如有可能深刻理解和尽可能的记住,对理解问题大有裨益。
我们用来表示网络的层次,本例中, 我们将第层记为,于是是输入层,输出层是。本例神经网络有参数
其中代表第层第j单元与第层第i单元之间的联接参数,其实就是连接线上的权重。只是要注意第一个标号是下一层,后面我们会发现这样定义有一定的好处。
是第层第i单元的偏值项。因此在本例中
注意,没有其他单元连向偏值单元,因为他们总是输出+1。同时,我们用表示第层的节点数,偏值单元不计在内。
我们用表示第l层第i单元的**值。当时,,也就是第i个输入值。对于给定参数集合,我们的神经网络就可以按照函数来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下:
我们用表示第l层第i单元输入加权和(包括偏置单元),比如,,则。
这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将**函数,即,那么,上面的等式可以更简洁的表示为:
我们将上面的计算步骤叫做前向传播(forward propagation)。回想一下,之前我们用表示输入层的**值,那么给定第l层的**值后,第l+1层的**值就可以按照下面步骤计算得到:
将参数矩阵化,使用矩阵-向量运算方式,我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。
目前为止,我们讨论了一种神经网络,我们也可以构建另一种结构的神经网络(这里结构指的是神经元之间的联接模式),也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 层的神经网络,第 1 层是输入层,第 层是输出层,中间的每个层 与层紧密相联。这种模式下,要计算神经网络的输出结果,我们可以按照之前描述的等式,按部就班,进行前向传播,逐一计算第 层的所有**值,然后是第层的**值,以此类推,直到第层。这是一个前馈神经网络的例子,因为这种联接图没有闭环或回路。
神经网络也可以有多个输出单元。比如,下面的神经网络有两层隐藏层: 及 ,输出层 有两个输出单元。
要求解这样的神经经网络,需要样本集,其中 。如果你想预测的输出是多个的,那这种神经网络很适用。(比如,在医疗诊断应用中,患者的体征指标就可以作为向量的输入值,而不同的输出值可以表示不同的疾病存在与否。)
中英文对照
neural networks 神经网络
activation function **函数
hyperbolic tangent 双曲正切函数
bias units 偏置项
activation **值
forward propagation 前向传播
feedforward neural network 前馈神经网络(参照Mitchell的《机器学习》的翻译)
参考文献
http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C