游程检验中游程R的条件分布解读

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假设某事件出现为1,不出现为0.那么连续的0或者连续的1称为一个游程(run)。设属于0的游程为 $R_0$R0​ ，属于1的游程为$R_1$R1​，总的游程数$R=R_0+R_1$R=R0​+R1​那么，对于下面的序列：

$(0)(111)(00)(11)$(0)(111)(00)(11)

有$R_0=2,R_1=2,总的游程数R=R_0+R_1=2+2=4$R0​=2,R1​=2,总的游程数R=R0​+R1​=2+2=4

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游程检验的基本思想是这样的:

假设一个事件出现记为1,不出现记为0,那么记录该事件出现的01序列就蕴涵着是否随机的信息.
如果该事件是随机性出现的,那么0和1就会比较均匀，不会出现很长一串的1很短一串0，也就是说01交叉的次数不会特别多也不会特别少,也就是游程R不会太大也不会太小.

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百度文库中一些PPT对游程$R$R的条件分布是这样介绍的:

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B站上的一个非参数网课老师对这个公式是这样解释的:

1. 因为1游程和0游程是一个挨着一个出现的,所以在R=2K为偶数时，一定有K个1游程,K个0游程；
2. 具体来说就有2种情况: 1游程0游程…1游程0游程
3. 考虑1游程在前的情况: m个1中一定有1个在最前,其余m-1个1要拿出K-1个1去做剩余K-1个游程的头元素; n个0一定有1个在前面,剩余n-1个0要拿出K-1个0去做头元素
4. 所有可能的情况为从N=m+n个位置中挑出n个位置放0元素,其余便为1了,所以有$C_{N}^{n}$CNn​种情况
5. 综上,$P(R=2K)=\frac{2*C_{m-1}^{K-1}*C_{n-1}^{K-1}}{C_{N}^{n}}$P(R=2K)=CNn​2∗Cm−1K−1​∗Cn−1K−1​​
6. 分子上的2是对应于1游程开头和0游程开头共2种情况的。

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不知道大家有没有很懂,我读完这些教程后感觉要么没见到合理解释,要么解释的也是不够透彻,有些云里雾里:
为什么剩余的m-1个1要参与选拔,而开头的1不用参与选拔？剩余的m-1个1的剩余标准是什么?这些细想起来都不合理.

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下面我给出我认为比较合理的解释吧:
example:
假设我们有5个0和6个1
1.所有可能的排列结构=$C_{11}^{5}$C115​ 种

可以这么理解:共5+6=11个位置,所有可能的安排方式就等于从11个位置中任意挑出5个放0,剩余的自动给1。根据排列组合数，很容易计算出来应该为C_{11}^{5}

2.如果游程$R=6,那么R_0=R_1=3$R=6,那么R0​=R1​=3

可以这么理解:因为1游程和0游程是一个挨着一个出现的,所以在R=2K为偶数时，一定有K个1游程,K个0游程；

3.$R_0=R_1=3意味着什么?$R0​=R1​=3意味着什么?
$R_0=3可以这么理解:$R0​=3可以这么理解:
先考虑0游程在前的情况:
$5个0要被分成3个游程,我们能做的就是在5个0中间共5-1=4个空位出插入同样也被划分好的1游程,具体来说可看下图:$5个0要被分成3个游程,我们能做的就是在5个0中间共5−1=4个空位出插入同样也被划分好的1游程,具体来说可看下图:

将0和1的处理顺序对调便可得出1游程在前时的结构类型数也是$C_{4}^{2}*C_{5}^{2}$C42​∗C52​

综上:$P(R=6)= \frac{2*C_{4}^{2}*C_{5}^{2}}{C_{11}^{5}}$P(R=6)=C115​2∗C42​∗C52​​
推广到$R=2K$R=2K的情形:$P(R=2K)= \frac{2*C_{m-1}^{K-1}*C_{n-1}^{K-1}}{C_{N}^{n}}$P(R=2K)=CNn​2∗Cm−1K−1​∗Cn−1K−1​​其中2K是游程数,m是1的个数,n是0的个数。
理解起来也是一样:

1. 先在n个0中间的n-1个空位处插入K-1个木板,将0分成K个游程；
2. 然后在m个1中间的m-1个空位处插入K-1个木板,留出给分好的K个0游程插入；
3. 将分好的K个0游程按照先后顺序插入1游程的空位处,最后一个0游程应该在最后.
4. 再考虑0游程在前的情况，便可得该公式.

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R=2K+1的情况理解原理一样~

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