今天刷题的时候刷到一道好题，最后弄成了一个递推式，而且还收获了一个等式，就是长得有点像牛顿二项式的那种但是没有系数，竟然还阔以化成一坨(｀・ω・´)
$A^n+A^{n-1}B+A^{n-2}B^2+...+AB^{n-1}+B^n=\frac{A^{n+1}-B^{n+1}}{A-B}$An+An−1B+An−2B2+...+ABn−1+Bn=A−BAn+1−Bn+1​
正当我以为这是个很牛皮的发现的时候，别人说这就是等比数列，公比是$\frac{B}{A}$AB​，我一下就觉得自己太瓜了(｡･ω･｡)

原题是这样的：

这样就阔以编一道题了：

$a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-1}-ABa_{n-2}$an​=Aan−1​+Ban−1​−ABan−2​
$a_1=A+B,a_2=(A+B)^2-AB,A,B为常数求a_n$a1​=A+B,a2​=(A+B)2−AB,A,B为常数求an​

解法：

化一哈，关键步骤：
$a_n-Aa_{n-1}=B(a_{n-1}-Ba_{n-2})=B^{n-2}(a_2-a_1)=B^n$an​−Aan−1​=B(an−1​−Ban−2​)=Bn−2(a2​−a1​)=Bn
所以就变成了：
$a_n-Aa_n-1=B^n$an​−Aan​−1=Bn
$a_n=Aa_{n-1}+B^n$an​=Aan−1​+Bn
$a_n=A(a_{n-2}+B^{n-1})+B^n=...=A^n+A^{n-1}B+A^{n-2}B^2+...+AB^{n-1}+B^n$an​=A(an−2​+Bn−1)+Bn=...=An+An−1B+An−2B2+...+ABn−1+Bn