一维量子行走及其拓扑结构

0. 经典一维随机行走

一维的随机行走表示的是如下情形：一个人以p的概率向前行走，以(1-p)的概率向后行走。用x表达他的位置，在n步行走之后，为 $x(n)$x(n). 设初始位置为 $x(0)=0$x(0)=0. 显然有如下的结论：如果n是奇数，则x为偶数的概率为0；同理，如果n是偶数，则x为奇数的概率为0. 综上，有概率如下：
$\mathrm{Pr}[x(n)=k] = \left\{ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} n\\(n+k)/2 \end{pmatrix}p^{(n+k)/2}q^{(n-k)/2},& (n+k)/2\in Z\\ &\quad0,& \text{otherwise} \end{aligned}\right.$Pr[x(n)=k]=⎩⎪⎨⎪⎧​​(n(n+k)/2​)p(n+k)/2q(n−k)/2,0,​(n+k)/2∈Zotherwise​
这样的随机行走与二项式分布类似，x也是钟形分布。对于二项式分布 $X\sim B(n,p)$X∼B(n,p)，有$E[X]=np,\quad Var[X]=npq$E[X]=np,Var[X]=npq. 同理对于随机行走而言，有 $E[x]=np,\quad Var[x]=4npq$E[x]=np,Var[x]=4npq。 因此我们可以得到一个经典随机行走的重要结论：$\Delta x\propto \sqrt{n}$Δx∝n​

1. 一维量子随机行走之 Hadmard 行走

对于一维量子随机行走，如果考虑的也是一个“人”（原子，光子等）在位置空间随机的向前/向后，则不会与经典的情形有什么不同。但是我们可以结合量子中特有的测量。考虑的是一个拿着硬币的“人”，如果这个硬币是正面则向前，背面则向后。但是由于量子叠加性，硬币可以处于叠加态，因此经过移动后会变成硬币和位置空间中的纠缠态。

因此分立一维量子随机行走的过程可以概括为，在参考空间为位置空间 $\{|x\rangle\}${∣x⟩}，和一个自旋空间 $\{|\uparrow\rangle，|\downarrow\rangle\}${∣↑⟩，∣↓⟩} 的总空间中，初始态为 $|\psi(0)\rangle=|0\rangle|\uparrow\rangle$∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩。它在一个算符 $U = TS$U=TS 的反复作用下进行演化。有$|\psi(t)\rangle = U^t|\psi(0)\rangle$∣ψ(t)⟩=Ut∣ψ(0)⟩。其中，T算符是个控制位移算符，S算符是硬币算符。
$\begin{aligned} T = \sum_x|x+1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\uparrow+|x-1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\downarrow \end{aligned}$T=x∑​∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑​+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓​​
即，自旋向上即向右移动，自旋向下的时候即向左移动。同时这里考虑，硬币算符为Hadmard变换。$S = H = |+\rangle\langle 0|+|-\rangle\langle 1|$S=H=∣+⟩⟨0∣+∣−⟩⟨1∣ 它可以旋转硬币的状态。

$|\psi(t)\rangle=\sum_x|\psi(x,t)\rangle|x\rangle,\quad|\psi(x,t)\rangle = \psi_R(x,t)|\uparrow\rangle+\psi_L(x,t)|\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} \psi_R(x,t)\\\psi_L(x,t) \end{pmatrix}$∣ψ(t)⟩=x∑​∣ψ(x,t)⟩∣x⟩,∣ψ(x,t)⟩=ψR​(x,t)∣↑⟩+ψL​(x,t)∣↓⟩=(ψR​(x,t)ψL​(x,t)​)

我们希望得到它的表达式而不是迭代方程。欲探究 $|\psi(t)\rangle$∣ψ(t)⟩ 的表达式，可以利用 $|\psi(t-1)\rangle$∣ψ(t−1)⟩ 到 $|\psi(t)\rangle$∣ψ(t)⟩ 的变化。其中，$|\psi(x,t+1)\rangle$∣ψ(x,t+1)⟩ 只与 $|\psi(x-1,t)\rangle$∣ψ(x−1,t)⟩ 和 $|\psi(x,t)\rangle$∣ψ(x,t)⟩，$|\psi(x+1,t)\rangle$∣ψ(x+1,t)⟩ 的态才可能演化到这个态。因此有：
$\begin{aligned} \psi(x,t+1) &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix} \psi(x+1,t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\psi(x-1,t) \\ & = M_-\psi(x+1,t) + M_+\psi(x-1,t) \end{aligned}$ψ(x,t+1)​=−2​1​(−10​10​)ψ(x+1,t)+2​1​(01​01​)ψ(x−1,t)=M−​ψ(x+1,t)+M+​ψ(x−1,t)​
在计算中我们可以利用一种特殊的Fiourier 变换，它能将在从 $-\infty$−∞ 到 $+\infty$+∞ 的整数空间Z投影到 $[-\pi, \pi]$[−π,π] 的连续空间上，有：
$\begin{aligned} \tilde{f}(k) &= \sum_x f(x)e^{ikx} \\ f(x) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi dk \tilde{f}(k) e^{-ikx} \end{aligned}$f~​(k)f(x)​=x∑​f(x)eikx=2π1​∫−ππ​dkf~​(k)e−ikx​
因此，尝试在k空间中讨论上述方程。
$\begin{aligned} \psi(x,t+1) &= M_-\psi(x+1,t) + M_+\psi(x-1,t) \\ \psi(k,t+1) &= \sum_x \psi(x,t+1) e^{ikx}\\ & = M_-\sum_x \psi(x+1,t)e^{ikx} + M_+\sum_x \psi(x-1,t)e^{ikx}\\ & = M_-e^{-ik}\sum_x \psi(x+1,t)e^{ik(x+1)}+M_+e^{ik}\sum_x \psi(x-1,t)e^{ik(x-1)}\\ & = (M_-e^{-ik}+M_+e^{ik}) \psi(k,t)\\ & = M_k \psi(k,t) \end{aligned}$ψ(x,t+1)ψ(k,t+1)​=M−​ψ(x+1,t)+M+​ψ(x−1,t)=x∑​ψ(x,t+1)eikx=M−​x∑​ψ(x+1,t)eikx+M+​x∑​ψ(x−1,t)eikx=M−​e−ikx∑​ψ(x+1,t)eik(x+1)+M+​eikx∑​ψ(x−1,t)eik(x−1)=(M−​e−ik+M+​eik)ψ(k,t)=Mk​ψ(k,t)​
这里重新定义了
$M_k = M_-e^{-ik}+M_+e^{ik} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-e^{-ik}&e^{-ik}\\e^{ik}&e^{ik} \end{pmatrix}$Mk​=M−​e−ik+M+​eik=2​1​(−e−ikeik​e−ikeik​)
显然有$M_k^\dag M_k=I$Mk†​Mk​=I. 因此，在k空间中，我们可以轻易的得到t次后的表达式为：$\psi(k,t) = M_k^t\psi(k,0)$ψ(k,t)=Mkt​ψ(k,0)，有$|\psi(t)\rangle = \int \psi(k,t)|k\rangle dk$∣ψ(t)⟩=∫ψ(k,t)∣k⟩dk。如果需要得到t次方的 $M_k$Mk​ 需要对它进行谱分解。设它的本征值为$\lambda_k^1,\lambda_k^2$λk1​,λk2​ 对应的本征矢为 $\phi_k^1,\phi_k^2$ϕk1​,ϕk2​，令$\sin\omega_k = \sin k/\sqrt{2}$sinωk​=sink/2​.
$\begin{aligned} &\lambda_k^1 = e^{i\omega_k},&\phi_k^1 = \frac{1}{N_1}\begin{pmatrix} e^{-ik}\\ \sqrt{2}e^{i\omega_k}+e^{-ik} \end{pmatrix} \\ &\lambda_k^2 = e^{i(\pi-\omega_k)},&\phi_k^2 = \frac{1}{N_2}\begin{pmatrix} e^{-ik}\\ -\sqrt{2}e^{-i\omega_k}+e^{-ik} \end{pmatrix} \end{aligned}$​λk1​=eiωk​,λk2​=ei(π−ωk​),​ϕk1​=N1​1​(e−ik2​eiωk​+e−ik​)ϕk2​=N2​1​(e−ik−2​e−iωk​+e−ik​)​
如果我们把初态分解成 $\phi_k^1$ϕk1​ 和 $\phi_k^2$ϕk2​ 的线性组合 $|\psi(k,0)\rangle = c_1|\phi_k^1\rangle+c_2|\phi_k^2\rangle$∣ψ(k,0)⟩=c1​∣ϕk1​⟩+c2​∣ϕk2​⟩。 所以，有 $|\psi(k,t)\rangle = c_1(\lambda_k^1)^t|\phi_k^1\rangle+c_2(\lambda_k^2)^t|\phi_k^2\rangle$∣ψ(k,t)⟩=c1​(λk1​)t∣ϕk1​⟩+c2​(λk2​)t∣ϕk2​⟩
如果初始态为 $|\psi(0)\rangle = |0\rangle|\uparrow\rangle$∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩，则：
$\begin{aligned} &\psi_R(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{-ie^{ik}}{2\sqrt{1+\cos^2(k)}}e^{-i(\omega_k t-kn)} dk\\ &\psi_L(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left(1+\frac{\cos k}{\sqrt{1+\cos^2 k}}\right)e^{-i(\omega_k t-kn)} dk\\ &\\ & P(x,t) = |\psi_R(x,t)|^2+ |\psi_L(x,t)|^2 \end{aligned}$​ψR​(x,t)=2π1​∫−ππ​21+cos2(k)​−ieik​e−i(ωk​t−kn)dkψL​(x,t)=2π1​∫−ππ​(1+1+cos2k​cosk​)e−i(ωk​t−kn)dkP(x,t)=∣ψR​(x,t)∣2+∣ψL​(x,t)∣2​
我们可以得到如下的图像：当初态为 $|\psi(0)\rangle = |0\rangle|\uparrow\rangle$∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩ 时，在右侧的地区有一片很大的概率。同理，当初态为$|\psi(0)\rangle = |0\rangle|\downarrow\rangle$∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↓⟩ 时，在左侧的地区有一片很大的概率。欲得到平衡的分布，则需要初态为:$|\psi(0)\rangle = |0\rangle(|\uparrow\rangle+i|\downarrow\rangle)/\sqrt{2}$∣ψ(0)⟩=∣0⟩(∣↑⟩+i∣↓⟩)/2​. 还有一种平衡的方式是令硬币算符为:
$S = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&i\\i&1\\ \end{pmatrix}$S=2​1​(1i​i1​)

这种一维量子随机行走能够得到以下几条主要结论：

1. 量子随机行走的方差比经典的扩散的更快 $\Delta x\propto t$Δx∝t
2. 量子随机行走的概率在 $x\in[-t^{1/2},t^{1/2}]$x∈[−t1/2,t1/2] 的概率近乎相同，而且较低.
   
   

2. 一维量子随机行走之传统情形

对于一个以任意角度的旋转的硬币算符 $S(\theta)$S(θ)，可以用Pauli算符表示：
$S(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta/2 & -\sin\theta/2\\ \sin\theta/2& \cos\theta/2 \end{pmatrix} = e^{-i\theta \sigma_y/2}$S(θ)=(cosθ/2sinθ/2​−sinθ/2cosθ/2​)=e−iθσy​/2
因此，这个这时一次的态的演化为 $U = TS(\theta)$U=TS(θ)，对于一个酉变换总可以定义一个有效哈密顿量使得 $U = e^{-iH_{eff}}$U=e−iHeff​。我们仍然需要Fourier 变换去理解这个过程，有：
$\begin{aligned} |x\rangle &=\int_{-\pi}^\pi |k\rangle e^{ikx}dk\\ |k\rangle &= \sum_x|x\rangle e^{-ikx}\\ \sum_x|x+1\rangle\langle x| &= \sum_x\iint dk_1dk_2 |k_1\rangle\langle k_2| e^{i\Delta kx} e^{-ik_1}\\ & = \int dk \ e^{-ik}|k\rangle\langle k|\\ \sum_x|x-1\rangle\langle x| &= \sum_x\iint dk_1dk_2 |k_1\rangle\langle k_2| e^{i\Delta kx} e^{ik_1} \\ & = \int dk\ e^{ik} |k\rangle\langle k| \end{aligned}$∣x⟩∣k⟩x∑​∣x+1⟩⟨x∣x∑​∣x−1⟩⟨x∣​=∫−ππ​∣k⟩eikxdk=x∑​∣x⟩e−ikx=x∑​∬dk1​dk2​∣k1​⟩⟨k2​∣eiΔkxe−ik1​=∫dk e−ik∣k⟩⟨k∣=x∑​∬dk1​dk2​∣k1​⟩⟨k2​∣eiΔkxeik1​=∫dk eik∣k⟩⟨k∣​
因此，可以改写T的表达式：
$\begin{aligned} T &= \sum_x|x+1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\uparrow+|x-1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\downarrow\\ &= \int dk |k\rangle\langle k| (e^{-ik}\Pi_\uparrow+e^{ik}\Pi_\downarrow)\\ &= \int dk |k\rangle\langle k|(\cos k-i\sin k \cdot\sigma_z)\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| e^{-ik \sigma_z} \end{aligned}$T​=x∑​∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑​+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓​=∫dk∣k⟩⟨k∣(e−ikΠ↑​+eikΠ↓​)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cosk−isink⋅σz​)=∫dk∣k⟩⟨k∣e−ikσz​​
改写U的表达式为：
$\begin{aligned} U &= TS(\theta)\\ & = \int dk |k\rangle\langle k|(\cos k-i\sigma_y\sin k) \cdot (\cos\theta/2-i\sigma_y\sin\theta/2)\\ & = \int dk |k\rangle\langle k|(\cos k\cos\frac{\theta}{2}-i\sigma_z\sin k\cos\frac{\theta}{2}-i\sigma_y\cos k\sin\frac{\theta}{2}-\sigma_z\sigma_y\sin k\sin\frac{\theta}{2})\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| \cos k\cos\frac{\theta}{2} -i[\sin k\sin\frac{\theta}{2},\cos k\cos\frac{\theta}{2},-\sin k\sin\frac{\theta}{2}]\cdot \vec{\sigma}\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| \cos E(k)-i\sin E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma}\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| e^{-i E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma}}\\ H_{eff} &= \int dk |k\rangle\langle k|\ E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma} \end{aligned}$UHeff​​=TS(θ)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cosk−iσy​sink)⋅(cosθ/2−iσy​sinθ/2)=∫dk∣k⟩⟨k∣(coskcos2θ​−iσz​sinkcos2θ​−iσy​cosksin2θ​−σz​σy​sinksin2θ​)=∫dk∣k⟩⟨k∣coskcos2θ​−i[sinksin2θ​,coskcos2θ​,−sinksin2θ​]⋅σ=∫dk∣k⟩⟨k∣cosE(k)−isinE(k)n(k)⋅σ=∫dk∣k⟩⟨k∣e−iE(k)n(k)⋅σ=∫dk∣k⟩⟨k∣ E(k)n(k)⋅σ​
其中，我们定义了一个准能量 $E(k)$E(k)，它的取值范围是 $[-\pi,\pi]$[−π,π]. 以及一个随k变化的单位矢量 $n(k)$n(k). 它始终与一个矢量 $\vec{A}$A 垂直，或者说，是在与其垂直的平面上。
$\begin{aligned} \cos E(k) &= \cos k \cos\frac{\theta}{2} \\ n_x &= \sin k\sin\frac{\theta}{2}/\sin E(k)\\ n_y &= \cos k\cos\frac{\theta}{2}/\sin E(k)\\ n_z &= -\sin k\sin\frac{\theta}{2}/\sin E(k)\\ \vec{n}\perp \vec{A} &= (\cos\frac{\theta}{2},0,\sin\frac{\theta}{2}) \end{aligned}$cosE(k)nx​ny​nz​n⊥A​=coskcos2θ​=sinksin2θ​/sinE(k)=coskcos2θ​/sinE(k)=−sinksin2θ​/sinE(k)=(cos2θ​,0,sin2θ​)​
更为重要的是，如果我们将k从 $-\pi$−π 到 $\pi$π 连续变化，$\vec{n}(k)$n(k) 刚好绕矢量 $\vec{A}$A 一圈。依据此定义绕数winding numver, $W=1$W=1。如果定义一个chiral算符为 $\Gamma(\theta) = \exp(-i\pi A\cdot\sigma/2)$Γ(θ)=exp(−iπA⋅σ/2) 刚好使得 $n(k)$n(k) 绕 A 半圈。它使得 $H_{eff}$Heff​ 具有chiral对称性，它使得$H_{eff}$Heff​ 的本征态总是成对出现的，它们的能量为 $\{E,-E\}${E,−E}，即：
$\begin{aligned} \Gamma^{-1}H_{eff}\Gamma &= -H_{eff} \\ H_{eff}|\psi\rangle &= E |\psi\rangle \\ H_{eff}(\Gamma|\psi\rangle) &= -E(\Gamma|\psi\rangle) \end{aligned}$Γ−1Heff​ΓHeff​∣ψ⟩Heff​(Γ∣ψ⟩)​=−Heff​=E∣ψ⟩=−E(Γ∣ψ⟩)​

但是在特殊情况下上述两个态会出现兼并的情况，即 $E=-E$E=−E，此时 $E=0$E=0 或 $E=\pi$E=π. 但是这种情况并不是总会出现。当 $\theta=0$θ=0 时，在 $k=0$k=0 处有$E=0$E=0，在 $k=\pm\pi$k=±π 处有 $E=\pm\pi$E=±π。当 $\theta = \pm \pi$θ=±π 时，在 $k=0$k=0 处有 $E=\pm \pi$E=±π，在 $k=\pm \pi$k=±π 处有 $E=0$E=0.

3. 一维量子随机行走之分离步骤随机行走

以绕数作为区分不同相的拓扑数，传统的量子行走只有 $W=1$W=1 的情形，不存在相变。因此提出了分离步骤随机行走，它能够产生二个相 $W=0$W=0 和 $W=1$W=1. 这里的0相是指，k的变化不能使n正好绕A一圈，而是不到1圈。而1相为刚好1圈。分离步骤随机行走是将原先的T算符，替换成了向右移动和向左移动的算符，并在中间加入了新的银币算符。
$\begin{aligned} T_{\uparrow} = \sum_x |x+1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\uparrow+I\otimes \Pi_\downarrow\\ T_{\downarrow} = \sum_x I\otimes \Pi_\uparrow+|x-1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\downarrow \end{aligned}$T↑​=x∑​∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑​+I⊗Π↓​T↓​=x∑​I⊗Π↑​+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓​​
此时，态的一次演化为：$U=T_{\downarrow}S(\theta_2)T_{\uparrow}S(\theta_1)=\exp(-iH_{eff})$U=T↓​S(θ2​)T↑​S(θ1​)=exp(−iHeff​) 有趣的是，有效哈密顿量的形式并没有变化，没有变化的还有矢量$\vec{A}$A. 变化的只有准能量 $E(k)$E(k) 和 矢量 $\vec{n}(k)$n(k) 的表达式。
$\begin{aligned} H_{eff} &= \int dk |k\rangle\langle k|\ E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma} \\ \cos E(k) &= \cos\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}\cos k-\sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}\\ n_x &= \sin\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}\sin k/\sin E(k)\\ n_y & = (\sin\frac{\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1}{2}+\cos\frac{\theta_2}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}\cos k)/\sin E(k)\\ n_z &= -\cos\frac{\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1}{2}\sin k/\sin E(k)\\ \vec{n}(k)\perp A &= (\cos\frac{\theta_1}{2},0,\sin\frac{\theta_1}{2}) \end{aligned}$Heff​cosE(k)nx​ny​nz​n(k)⊥A​=∫dk∣k⟩⟨k∣ E(k)n(k)⋅σ=cos2θ1​​cos2θ2​​cosk−sin2θ1​​sin2θ2​​=sin2θ1​​cos2θ2​​sink/sinE(k)=(sin2θ2​​cos2θ1​​+cos2θ2​​sin2θ1​​cosk)/sinE(k)=−cos2θ2​​cos2θ1​​sink/sinE(k)=(cos2θ1​​,0,sin2θ1​​)​
这时候 $\vec{n}(k)$n(k) 有两个参数 $\theta_1$θ1​ 和 $\theta_2$θ2​，矢量A只与 $\theta_1$θ1​ 有关。可以计算得到当 $|\tan\frac{\theta_2}{2}/\tan\frac{\theta_1}{2}|<1$∣tan2θ2​​/tan2θ1​​∣<1 时绕数才为1，否则，绕数为0. 因此可以绘制相图如下。实线表示的是 $E=0$E=0，虚线表示的是 $E=\pi$E=π.

值得注意的是，在不同相的转换中，只有那些使满足chiral对称性的两个态重合的态才是处在相边缘的态。如图所示。因此，我们可以调整 $\theta_2$θ2​ 使得它们对应的相突变。那么在 $\theta_2$θ2​ 突变的位置产生的态就是相的边缘态。因此我们可以通过在位置上去调整$\theta_2$θ2​，则在该位置上可以筛选出相的边沿态。理论上，该态的产生与初始态的选择无关。但是选择合适的初始态可以提高出现边沿态的概率。在如上所描述的情况中，如果初态是 $|0\rangle$∣0⟩，它与边沿态有重叠。因此，最后在$x=0$x=0处，仍然可以以较大的概率探测到粒子。在传统情形中一般是很难在原点再探测到粒子的，但是存在边沿态的情况下则可以在原点探测到粒子。因此可以利用是否能在原地探测到粒子去检测是否存在边沿态。下图所示的例子是取 $\theta_1=-\pi/2$θ1​=−π/2，$\theta_{2-}=3\pi/4$θ2−​=3π/4，$\theta_{2+}=\pi/4$θ2+​=π/4.
$\theta_2(x) = \frac{1}{2}(\theta_{2-}+\theta_{2+})+\frac{1}{2}(\theta_{2+}-\theta_{2-})\tanh(x/3)$θ2​(x)=21​(θ2−​+θ2+​)+21​(θ2+​−θ2−​)tanh(x/3)

4. 参考文献

1. Kitagawa, Takuya. “Topological phenomena in quantum walks: elementary introduction to the physics of topological phases.” Quantum Information Processing 11.5 (2012): 1107-1148.
2. Kitagawa, Takuya, et al. “Exploring topological phases with quantum walks.” Physical Review A 82.3 (2010): 033429.
3. Venegas-Andraca, Salvador Elías. “Quantum walks: a comprehensive review.” Quantum Information Processing 11.5 (2012): 1015-1106.
4. Kempe, Julia. “Quantum random walks: an introductory overview.” Contemporary Physics 44.4 (2003): 307-327.