1、概述

推荐系统是现实生活中应用最广泛的积极学习问题，通过对历史数据的分析，把用户感兴趣的商品、服务推荐给用户。

2、基于内容的推荐算法

基于内容的推荐算法，其实就是已知商品的特征，根据特征建立模型，实现推荐系统的方式。
我们以一个案例来介绍推荐算法，这个案例讲贯穿整章内容。

2.1 电影推荐案例

介绍一下上述表格的组成部分：

• 第一列：代表电影的名称，一共有5个电影。
• 第二列：分成4个小列，代表每个人对各个电影的评分。问号代表用户没有进行评分。
• 第三列：电影的特征值，$x_1$x1​代表电影是爱情电影的概率；$x_2$x2​代表是动作电影的概率。

2.2 符号说明

为了描述方便，我们把本章使用到的符号做个定义：

• $n_n$nn​：用户数量。
• $n_m$nm​：电影数量。
• r(i,j)=1：代表用户j对电影i进行了评价。
• y(i,j)：代表用户j对电影i的评分。
• $m^{(j)}$m(j)：代表用户j评价的电影数量。
• $\theta^{(j)}$θ(j)：用户j的向量参数。
• $x^{(i)}$x(i)：电影i的特征向量。
• $n_u$nu​：代表$\theta$θ的数量。
• $n_m$nm​：代表特征x的数量。

2.3 基本原理

我们假设用户j对电影i的评分为：$(\theta^{(j)})^T*X^{(i)}$(θ(j))T∗X(i)。具体原因，恕我无可奉告。

在已知$\theta$θ和X的前提下，就能计算每个用户对每个电影的评分了。
这就是基于内容的推荐算法。

那$\theta$θ如何计算呢，请看下节。

2.4 $\theta$θ的计算

$\theta$θ 是拟合参数，需要保证预测值与真实值最接近的情况下，求最小值，公式为：

$min_{\theta_j} ：\frac{1}{2m^{(j)}}\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^j)^TX^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2m^{(j)}}\sum_{k=1}^n(\theta_k^{(j)})^2$minθj​​：2m(j)1​i:r(i,j)=1∑​((θj)TX(i)−y(i,j))2+2m(j)λ​k=1∑n​(θk(j)​)2

$m^{(j)}$m(j)代表用户评价的电影的数量，是一个常量，可以从商户公式中去掉：
$min_{\theta_j} ：\frac{1}{2}\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^j)^TX^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{k=1}^n(\theta_k^{(j)})^2$minθj​​：21​i:r(i,j)=1∑​((θj)TX(i)−y(i,j))2+2λ​k=1∑n​(θk(j)​)2

求所有的$\theta$θ值：
$J(\theta^{(1)},\theta^{(2)},\theta^{(3)}......\theta^{(n_u)})=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^j)^TX^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n(\theta_k^{(j)})^2$J(θ(1),θ(2),θ(3)......θ(nu​))=21​j=1∑nu​​i:r(i,j)=1∑​((θj)TX(i)−y(i,j))2+2λ​j=1∑nu​​k=1∑n​(θk(j)​)2

通过梯度下降的方式来计算$\theta$θ：
$\theta_k^{(j)}:=\theta_k^{(j)}-\alpha(\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^TX^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}) (for \ k=0)$θk(j)​:=θk(j)​−α(∑i:r(i,j)=1​((θ(j))TX(i)−y(i,j))xk(i)​)(for k=0)
$\theta_k^{(j)}:=\theta_k^{(j)}-\alpha(\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^TX^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda\theta_k^{(j)} )(for \ k!=0)$θk(j)​:=θk(j)​−α(∑i:r(i,j)=1​((θ(j))TX(i)−y(i,j))xk(i)​+λθk(j)​)(for k!=0)

3、协同过滤

上面介绍的是已知特征的情况下，可以推导出$\theta$θ，从而构建推荐模型。
本节讲的是另外一种情况，假设$\theta$θ是已知的，特征是未知的，通过$\theta$θ来自动构建特征的过程，这种方式称为协同过滤。

3.1 前提

前提：每个用户都对数个电影进行了评分，通过观察大量的数据，得到每个电影的特征值，相当于每个用户都在协助改进算法。

3.2 原理

根据之前的定义我们知道用户j对电影i的评分为$(\theta^{(j)})^TX^{(i)}$(θ(j))TX(i)，现在已知$\theta$θ、评分求解X，则公式为：

$min_x^{(i)}$minx(i)​:$\frac{1}{2}\sum_{j:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^TX^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{k=1}^n(x_k^{(i)})^2$21​∑j:r(i,j)=1​((θ(j))TX(i)−y(i,j))2+2λ​∑k=1n​(xk(i)​)2

求解所有的X：
$min_{x^{(1)},x^{(2)}...x^{(n_m)}}$minx(1),x(2)...x(nm​)​：$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n_m}\sum_{j:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^TX^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^{n_m}\sum_{k=1}^n(x_k^{(i)})^2$21​∑i=1nm​​∑j:r(i,j)=1​((θ(j))TX(i)−y(i,j))2+2λ​∑i=1nm​​∑k=1n​(xk(i)​)2

3.3 计算步骤

1. 先取一个随机的$\theta$θ
2. 根据上述公式计算出X。
3. 对$\theta$θ进行优化。
4. 重新计算x
5. …

3.4 同时计算$\theta、 X$θ、X

有一种同时计算$\theta X$θX的方式，公式为：
$J(x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}...,x^{(n_m)},\theta^{(1)},\theta^{(2)},\theta^{(3)}......\theta^{(n_u)})=\frac{1}{2}\sum_{(i,j):r(i,j)=1}((\theta^j)^TX^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n(\theta_k^{(j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^{n_m}\sum_{k=1}^n(x_k^{(i)})^2$J(x(1),x(2),x(3)...,x(nm​),θ(1),θ(2),θ(3)......θ(nu​))=21​(i,j):r(i,j)=1∑​((θj)TX(i)−y(i,j))2+2λ​j=1∑nu​​k=1∑n​(θk(j)​)2+2λ​i=1∑nm​​k=1∑n​(xk(i)​)2

注意：该算法中，不包含$x_0 \theta_0$x0​θ0​的值。

计算步骤为：

1. 随机初始化$\theta \ x$θ x为较小的值。
2. 使用梯度下降算法优化$\theta \ x$θ x。

$\theta_k^{(j)}:=\theta_k^{(j)}-\alpha(\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^TX^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda\theta_k^{(j)} )$θk(j)​:=θk(j)​−α(∑i:r(i,j)=1​((θ(j))TX(i)−y(i,j))xk(i)​+λθk(j)​)

$x_k^{(i)}:=x_k^{(i)}-\alpha(\sum_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^TX^{(i)}-y^{(i,j)})\theta_k^{(j)}+\lambda{X^{(i)}})$xk(i)​:=xk(i)​−α(∑i:r(i,j)=1​((θ(j))TX(i)−y(i,j))θk(j)​+λX(i))

4、矢量化实现

矢量化是一种表示方式的变化。

我们来看一下上面的这张图：

1. Y：每行代表每个用户对一个电影的评分结果。
2. Predicted ratings：预测的公式，$(\theta^{(j)})^2x^{(i)}$(θ(j))2x(i)。用这个来预测Y的值。
3. 假设X $\Theta$Θ 为两个矩阵，则$Y=X\Theta^T$Y=XΘT
   这就是矢量化表示方式，也称为“低秩矩阵分解算法”。

5、均值归一化

有些用户从来不对电影进行评分，针对于这种用户，如何进行推送呢？

通过上面的方式，因为r(i,j)!=1，所以该用户对所有电影的评分结果计算出来都是0，这对于推荐系统没有任何意义，而均值归一化是一种解决思路。

均值归一化：就是计算所有用户对电影的评分的平均值，作为该用户的评分返回。

介绍一下上图的元素：

1. Y：代表用户对电影的评分，可以看出最后一个用户，没有进行任何评分。
2. $\mu$μ代表每个电影评分的平均值。
3. 使用Y减去平均值得到新的Y。
4. 预测评分的公式为：$(\theta^{(j)})^T{x^{(i)}}$(θ(j))Tx(i)，由于每个y值都减去了平均值，所以公式需要加上平均值：$(\theta^{(j)})^T{x^{(i)}} +\mu_i$(θ(j))Tx(i)+μi​
5. 所以没有评分的用户的评分：$(\theta^{(j)})^T{x^{(i)}} +\mu_i=0+\mu_i=\mu_i$(θ(j))Tx(i)+μi​=0+μi​=μi​