工程数学2018――2019学年

一、单项选择题

1．对掷一颗骰子的试验，将“出现偶数点”称为 （ D ）

A、样本空间 B、必然事件

C、不可能事件 D、随机事件

2．若事件A、B 互不相容，则下列等式中未必成立的是 （C ）

A、AB= $\varnothing$∅ B、P(AB)=0

C、P(A)+P(B)=1 D、 P(A$\cup$∪B)=P(A)+P(B)

分析：C项：P(A)+P(B)=1，当A与B对立时成立

3．设随机变量X的分布函数为F(x) ，下列说法中正确的是 （ D ）

A、 F(x)是增函数 B、 F(x)必为(-∞,+∞) 上的连续函数

C、F( -∞)=1 D、 F(x)$\leq$≤ 1

分析：D项正确：由于0≤F（x）≤1，F（x）的值域为[0，1]；
A项：F（x）是不减函数，故错误；
B项：由于F（x）仅右连续，从而（B）不对；
C项：由于

，从而（C）不对。

4． 设总体 X服从正态分布N( $\mu$μ, $\sigma ^{2}$σ2) ，其中 $\mu$μ已知， $\sigma ^{2}$σ2未知， $X_{1}、X_{2}、X_{3}$X1​、X2​、X3​是总体 X的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 （ C ）

A、$X_{1}+X_{2}+X_{3}$X1​+X2​+X3​ B、min($X_{1},X_{2},X_{3}$X1​,X2​,X3​) C、$\sum_{i=1}^{3}\frac{X_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}$∑i=13​σ2Xi2​​ D、 $\overline{X}$X+2$\mu$μ

分析：由于X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ已知，σ2未知，因此未知参数只有$\sigma$σ。
选项A、B都是关于样本的函数，它们是统计量；
选项D虽然含有参数μ，但μ是已知的，因此也是统计量；
选项C由于含有未知参数σ，它不是统计量．
故选：C

5．设 $X_{1}、X_{2}、X_{3}、X_{4}$X1​、X2​、X3​、X4​是来自均值为 $\theta$θ的指数分布的样本，其中$\theta$θ 未知，以下估计量中哪个是$\theta$θ 的无偏估计量？ （ A ）

A、$\frac{X_{1}+X_{2}+2X_{3}+X_{4}}{5}$5X1​+X2​+2X3​+X4​​

B、$\frac{3X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{7}$73X1​+X2​+X3​+X4​​

C、 $\frac{X_{1}+X_{2}}{4}$4X1​+X2​​ +$\frac{X_{3}+X_{4}}{3}$3X3​+X4​​

D、$\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{3}$3X1​+X2​+X3​+X4​​

分析：如果指数分布$\theta$θ ～e（λ），那么E（$\theta$θ ）==$\frac{1}{ λ}$λ1​ D（$\theta$θ ）= $\frac{1}{ λ^{2}}$λ21​
无偏估计量的定义是：设（$\widehat{\theta}$θ）是$\theta$θ的一个估计量，若E（$\widehat{\theta}$θ）=$\theta$θ ，则称$\widehat{\theta}$θ是$\theta$θ的无偏估计量
A项：E（$\frac{X_{1}+X_{2}+2X_{3}+X_{4}}{5}$5X1​+X2​+2X3​+X4​​ ）=E（$\frac{\frac{1}{ λ}+\frac{1}{ λ}+2\frac{1}{ λ}+\frac{1}{ λ}}{5}$5λ1​+λ1​+2λ1​+λ1​​ ）=$\frac{1}{ λ}$λ1​，故A项正确。

拓展：

6．若随机变量X,Y 独立，下列等式中错误的是 （ D）

A、对任何实数a,b ，事件{X $\leq$≤a} 和事件 {Y$\leq$≤b}独立

B、 P(X$\leq$≤x，Y$\leq$≤y)=P（X$\leq$≤x）P（Y$\leq$≤y）

C、 F(x,y)=$F_{X}(x)F_{Y}(y)$FX​(x)FY​(y)

D、$\rho_{XY}$ρXY​=1

分析：相互独立是设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.A、B、C正确·
D（X）=$E（X^{2}）+E（X）^{2}$E（X2）+E（X）2
$\rho_{XY}$ρXY​=$\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D（X）}\sqrt{D（Y）}}$D（X）​D（Y）​Cov(X,Y)​
若随机变量X,Y 独立，Cov(X,Y)=0；
故$\rho_{XY}$ρXY​=0；因此（D）错

7．对于一个原假设为 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ B ）

A、 $H_{0}$H0​为真时，接受$H_{0}$H0​

B、 $H_{0}$H0​为真时，拒绝 $H_{0}$H0​

C、 $H_{0}$H0​不真时，接受$H_{0}$H0​

D、 $H_{0}$H0​不真时，拒绝 $H_{0}$H0​

分析：

二、填空题（每小题3分，共24分）

8．设A,B 为随机事件，P(A)=0.5 ，P(B)=0.6 ，P(B|A)=0.8,则P(B$\cup$∪A)= 0.7_ ．

分析：P(BUA)为0.7。计算过程如下：
P(A)=0.5。
P(B)=0.6。
P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.8。
所以P(AB)=0.4。
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7。
所以P(BUA)=P(A+B)=0.7。

扩展资料：
常用概率公式
1、设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）
推论1：设A1、A2、…、An互不相容，则：P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推论2：设A1、A2、…、An构成完备事件组，则：P(A1+A2+…+An)=1
推论3：为事件A的对立事件。
推论4：若B包含A，则P(B－A)=P(B)－P(A)
推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
2、条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：
当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)
当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)
3、乘法公式
P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)
推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

9． 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为 0.3，则在同一时刻恰有2个设备被使用的概率是______0.3087________．

n重复相同实验，为二项分布
故P（2)=$C_{5}^{2}* 0.3^{2} *(1-0.3)^{(5-2)}$C52​∗0.32∗(1−0.3)(5−2)=0.3087

拓展：

10． 设随机变量X ,Y 相互独立，且X:B(100,0.6) ，Y:P(2) ，则 D(2X-Y)= _98 ．

分析：因为1、D（C）=0;
2、D（aX+b）=$a^{2}$a2D(X);
3、D(X$\pm$±Y）=D(X)+D(Y)$\pm$±DOV（X,Y)
又设随机变量X ,Y 相互独立DOV（X,Y)=0；
X:B(100,0.6)，可知为二项分布，D（X）=100* 0.6* （1-0.6）=24；
Y:P(2) ，可知为泊松分布，则D（Y）=λ=2；
则D(2X - Y )
=4D(X)+D(Y)=24*4+2=98

拓展：

11．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为$\frac{1}{6}$61​ ，$\frac{1}{5}$51​ , $\frac{1}{4}$41​此密码被译出的概率为 0.5___ ．

分析：密码被译出的概率即为至少一人破译：1-（1-$\frac{1}{6}$61​）（1-$\frac{1}{5}$51​）（1-$\frac{1}{4}$41​）=0.5

12. 若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)= _0__ ．

13．随机变量$\xi$ξ~$\chi^{2}(n)$χ2(n) ，$\eta$η~$\chi^{2}(m)$χ2(m) ，$\xi$ξ,$\eta$η 独立，则 $\xi$ξ+$\eta$η~ $\chi^{2}(n+m)$χ2(n+m)_ ．

分析：

拓展：

14. 设$X_{1}、X_{2}、L、X_{5}$X1​、X2​、L、X5​ 是总体 X~N(0,1)的简单随机样本，则当K= $\frac{\sqrt{6}}{2}$26​​_ 时，Y= $\frac{k(X_{1}+X_{2})}{\sqrt{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}}}$X32​+X42​+X52​​k(X1​+X2​)​~t(3) ；

分析：因为 $X_{1}、X_{2}、L、X_{5}$X1​、X2​、L、X5​ 是总体 X~N(0,1)的简单随机样本
且$\frac{k(X_{1}+X_{2})}{\sqrt{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}}}$X32​+X42​+X52​​k(X1​+X2​)​=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}}$3​2​k​,
为使$\frac{k(X_{1}+X_{2})}{\sqrt{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}}}$X32​+X42​+X52​​k(X1​+X2​)​~t(3)，
只需$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}}$3​2​k​=1即可，
得 a =$\frac{\sqrt{6}}{2}$26​​

15．在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 Z或U_ 检验法

分析：Z检验 顺便说一句，当总体方差未知时，选用t检验法

三、解答题（每题11分，共55分）

16. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机抽选一人.

（1）求此人是色盲患者的概率；

（2）若此人恰好是色盲，则此人是女性的概率是多少？

分析：全概率公式：P（发生某事）=P（A出现）P（A发生某事）+P（B出现）P（B发生某事）…
贝叶斯公式：P（已知有个体发生某事是A发出的）=$\frac{P（A出现）P（A发生某事）}{P（发生某事）------》（全概率公式）}$P（发生某事）−−−−−−》（全概率公式）P（A出现）P（A发生某事）​

17．设随机变量 的密度函数为：

$f（x）$f（x）=$\begin{cases}k(x+1)& \text{ , } 0<x<1 \\ 0 ，其他 & \text{ } \end{cases}${k(x+1)0，其他​ , 0<x<1 ​

求（1）常数k ；

（2） X的分布函数F(x) ；

（3）P{$\frac{1}{2}$21​<X$\leq$≤$\frac{3}{2}$23​} .

分析·：

一、已知$F_{X}(x)$FX​(x)或$f_{X}(x)$fX​(x)含未知数，求未知数：

1. $F_{X}$FX​(-∞)=0;
2. $F_{X}$FX​(+∞)=0;
3. $F_{上}$F上​(分段点)=$F_{下}$F下​(分段点)（断点值相同）
4. $\int_{-∞}^{+∞}$∫−∞+∞​$f_{X}(x)d_{x}$fX​(x)dx​=1;

二、$F_{X}(x)$FX​(x)=$\int_{-∞}^{+∞}$∫−∞+∞​$f_{X}(x)d_{x}$fX​(x)dx​

三、已知$F_{X}(x)$FX​(x)或$f_{X}(x)$fX​(x)中一种，求P，

P（a<x<b）=$F_{X}(a)$FX​(a)-$F_{X}(b)$FX​(b)=$\int_{a}^{b}$∫ab​$f_{X}(x)d_{x}$fX​(x)dx​

18．一工厂生产的某种设备的寿命 （以年计）服从指数分布，概率密度为

工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换．若不需调换，每台设备工厂可以赢利1000元；若需要调换，每台设备工厂会亏损500元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．

分析：

19．设总体

其中，$X_{1}、X_{2}、L、X_{n}$X1​、X2​、L、Xn​ 是X的一个样本，求:

(1) $\theta$θ的矩估计量;

(2) $\theta$θ最大似然估计量.

分析：

20．某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：

3.24 3.26 3.24 3.27 3.25

设含镍量服从正态分布，问在$\alpha$α =0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25?

($t_{0.005}(4)$t0.005​(4)= 4.6041 ，$\sqrt{5}$5​=2.236 )

分析：

$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$S2=n−11​∑i=1n​(Xi​−X)2