尺度空间与高斯差分算子DoG
在上一篇中我讲述了图像金字塔（高斯金字塔和拉普拉斯金字塔）。这了篇中介绍在SIFT检测中用到的DoG高斯差分算子。
此处的高斯金字塔的形成过程上前文的高斯金字塔稍有不同。
在SIFT关键角点检测中，在不同的尺度空间不能使用相同的窗口检测SIFT极值点。对小的角点要用小的窗口，对大的角点只能使用大的窗口。为了达 到这个目的我们要使用尺度空间滤波器。
尺度空间滤波器：尺度空间滤波器可以使用一些列具有 不同方差 σ 的高斯卷积核构成。使用具有不同方差值 σ 的高斯拉普拉斯算子 （LoG）对图像进行卷积，LoG 由于具有不同的方差值 σ 所以可以用来检测不 同大小的斑点（当 LoG 的方差 σ 与斑点直径相等时能够使斑点完全平滑。
简 单来说，方差 σ 就是一个尺度变换因子。例如，使用一个小方差 σ 的高斯 卷积核是可以很好的检测出小的角点，而使用大方差 σ 的高斯卷积核时可以很 好的检测出大的角点。所以我们可以在尺度空间和二维平面中检测到局部最大 值，如（x，y，σ）, 这表示在 σ 尺度中（x，y）点可能是一个关键点。
高斯金字塔的详细构建过程：
1） 先将原图像扩大一倍之后作为高斯金字塔的第1组第1层，将第1组第1层图像经高斯卷积（其实就是高斯平滑或称高斯滤波）之后作为第1组金字塔的第2层，高斯卷积函数为：
对于参数σ，在Sift算子中取的是固定值1.6。
2）将σ乘以一个比例系数k,等到一个新的平滑因子σ=k*σ，用它来平滑第1组第2层图像，结果图像作为第3层。
3） 如此这般重复，最后得到L层图像，在同一组中，每一层图像的尺寸都是一样的，只是平滑系数不一样。它们对应的平滑系数分别为：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。
4） 将第1组倒数第三层图像作比例因子为2的降采样（如只取奇数行或奇数列），得到的图像作为第2组的第1层，然后对第2组的第1层图像做平滑因子为σ的高斯平滑，得到第2组的第2层，就像步骤2中一样，如此得到第2组的L层图像，同组内它们的尺寸是一样的，对应的平滑系数分别为：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。但是在尺寸方面第2组是第1组图像的一半。
这样反复执行，就可以得到一共O组，每组L层，共计O*L个图像，这些图像一起就构成了高斯金字塔。
注：高斯方差σ的大小与窗口的大小存在一个倍数关系：窗口大小等于 6 倍方差加 1，所以方差的大小也决定了窗口大小。
LoG 的计算量非常大，所以 SIFT 算法使用高斯差分算子（DoG）来对 LoG 做近似。DoG 就是这组具有不同分辨率的图像金字塔中相邻的两层之间的差值。
附1：LoG算子
附1：DoG算子
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在 DoG 搞定之后，就可以在不同的尺度空间和 2D 平面中搜索局部最大 值了。对于图像中的一个像素点而言，它需要与自己周围的 8 邻域，以及尺度 空间中上下两层中的相邻的 18（2x9）个点相比（共27个点相比）。如果是局部最大值，它就可能是一个关键点。基本上来说关键点是图像在相应尺度空间中的最好代表。如 下图所示：
在同一组中，每一层图像的尺寸都是一样的，只是平滑系数不一样。它们对应的平滑系数分别为：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。
SIFT算法的作者在文章中给出了 SIFT 参数的经验值：octaves=4（通过降低采样从而减小图像尺寸，构成尺寸减小的图像金字塔4 层），尺度空间 为 5，也就是每个尺寸使用 5 个不同方差的高斯核进行卷积，初始方差是 1.6， k 等于 √2 等。