莫比乌斯反演习题总结
一:常用卷积
\[1 * \mu = \epsilon\]
\[Id * \mu = \varphi\]
\[1 * \varphi = Id \]
最后一个是欧拉反演.
根据这些卷积之间的相互转化,在推式子时只要够敏感,就能巧妙地化简。(如P3768简单的数学题)
二: 推式子的技巧
1. 改变枚举对象、枚举顺序
比如
\[
\begin{aligned}
1. &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=p]\\
=&\sum_{x=1}^{\frac{n}{p}}\sum_{y=1}^{\frac{n}{p}}[gcd(i,j)=1]\\
2.&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\\
=&\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)=1]
\end{aligned}
\]
当一个一个数不受之前的 \(\sum\) 限制时可提前
2. 替换变量,优化复杂度(式子中不必要的枚举)
比如求这个:
\[ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^nk\sum_{d=1}^\frac{n}{k}\mu(d)\frac{n}{dk}\frac{m}{dk}\\ =&\sum_{T=1}^n\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{d|T}\frac{T}{d}\mu(d) \end{aligned} \]
为什么这样?
其实替换变量也是为了改变枚举顺序,然后就可以愉快地整除分块了。
3. 一些连乘可以化成指数的 \(\sum\) 形式
这里不展开叙述 (其实是写的题太少)
三: 筛积性函数前缀和
转载自浅谈积性函数的线性筛法
题目:
P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB
由于本蒟蒻做题太少未完待续...