详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解

最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。

贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

似然函数

似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。

对于这个函数：

P(x|θ)

输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ表示模型的参数。

如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。

如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解 , 即x的y次方。如果x是已知确定的(例如x=2)，这就是这是指数函数。如果yy是已知确定的(例如y=2)，这就是，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。

最大似然估计（MLE）

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为θ）各是多少？

这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（x0）是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是二项分布。

那么，出现实验结果x0（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？

详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解

注意，这是个只关于θ的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出f(θ)的图像：

详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解

可以看出，在θ=0.7时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对θ的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm..这非常直观合理，对吧？）

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ=0.7。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计

最大似然估计是求参数θ, 使似然函数P(x0|θ)最大。最大后验概率估计则是想求θ使P(x0|θ)P(θ)最大。求得的θ不单单让似然函数大，θ自己出现的先验概率也得大。（这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

MAP其实是在最大化详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解，不过因为x0是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），P(x0)是一个已知值，所以去掉了分母P(x0)（假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，则P(x0)=n/1000。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。最大化P(θ|x0)的意义也很明确，x0已经出现了，要求θ取什么值使P(θ|x0)最大。顺带一提，P(θ|x0)即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。