1.sigmoid函数

                                                                              

 

这个函数图像如下：

                                                                   

这个函数能将实数域映射到(0,1),并且可导，导数值在（2.5，+inf）变化缓慢，图像在（0,2.5）极为陡峭。导数还满足如下特性（计算机可直接计算）：

                                                                           

2.极大似然法（MLE）估计Logistic回归参数

将下列式子精简：                                                                     

                                                                            

 ， ，都为行向量， 为概率预测函数。

                                                                         

记 表示在参数 和输入 的条件下，对应标签为1的概率。显然：

                                                         

对于每个样本 ,

                                        当 时， ，

                                        当 时， ，

而根据数据集估计的概率为：

                                                       

                                                      

单个样本 （一个样本可以看成一次伯努利事件）的似然函数:

                                               

整个数据集上的似然函数：

                                                

                                                          

 

3.梯度下降法与牛顿迭代法：

3.1梯度下降法推导：

与线性回归损失函数的梯度下降原理相似：

 为参数向量 的第t个参数，共有k+1个参数：

                                            

3.2牛顿迭代法推导：

假设要求一元函数 的最优目标（先求极大或极小值）， ，根据泰勒公式推导如下：

                                  

对于多元函数的递推公式为：

                                                      

其中为多元函数的海塞矩阵（Hessain Matrix）

定义如下：

                                                 

海塞矩阵每一个元素的求法如下，其中 、 为参数向量 的第p、q个参数，p可以等于q,共有k+1个参数：

                                                

原理介绍的差不多了，下一步就是写代码实现一下了。

参考文献：周志华《机器学习》  李航《统计学习方法》