一.原理

球谐光照实际上是一种对光照的简化，对于空间上的一点，受到的光照在各个方向上是不同的，也即各向异性，所以空间上一点如果要完全还原光照情况，那就需要记录周围球面上所有方向的光照。注意这里考虑的周围环境往往是复杂的情况，而不是几个简单的光源，如果是那样的话，直接用光源的光照模型求和就可以了。

如果环境光照可以用简单函数表示，那自然直接求点周围球面上的积分就可以了。但是通常光照不会那么简单，并且用函数表示光照也不方便，所以经常用的方法是使用环境光贴图，比如像这样的：

球谐光照

上面的图是立方体展开得到的，这种贴图也就是cubemap，需要注意的是一般的cubemap是从里往外看的。

考虑一个简单场景中有个点，他周围的各个方向上的环境光照就是上面的cubemap呈现的，假如我想知道这个点各个方向的光照情况，那么就必须在cubemap对应的各个方向进行采样。对于一个大的场景来说，每个位置点的环境光都有可能不同，如果把每个点的环境光贴图储存起来，并且每次获取光照都从相应的贴图里面采样，可想而知这样的方法是非常昂贵的。

利用球谐函数就可以很好的解决这个问题，球谐函数的主要作用就是用简单的系数表示复杂的球面函数。关于球谐函数的理论推导与解释可以参考wiki（ https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics ）。如果只是要应用和实现球谐光照，不会涉及到推导过程，不过球谐基函数却是关键的内容，球谐基函数已经有人在wiki上列好了表格，参考（ https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics ），前3阶的球谐基函数如下：

球谐光照

这里值得注意的是很多资料用这张图来描述球谐基函数：

球谐光照

我刚开始看到这张图的时候简直觉得莫名其妙，实际上这里面每个曲面都是用球坐标系表示的，球谐基都是定义在球坐标系上的函数，r（也就是离中心的距离）表示的就是这个球谐基在这个方向分量的重要程度。我是用类比傅里叶变换的方法来理解的，其实球谐函数本身就是拉普拉斯变换在球坐标系下的表示，这里的每个球谐基可以类比成傅里叶变换中频域的各个离散的频率，各个球谐基乘以对应的系数就可以还原出原来的球面函数。一个复杂的波形可以用简单的谐波和相应系数表示，同样的，一个复杂的球面上的函数也可以用简单的球谐基和相应的系数表示。

由于球谐基函数阶数是无限的，所以只能取前面几组基来近似，一般在光照中大都取3阶（Unity中就取3阶），也即9个球谐系数。这里讲一下我自己认为比较核心的几个点的理解：

1、蒙特卡洛积分：
将计算机尤其是GPU上非常难以计算的积分简化为了加法，这是球谐光照的前提
2、投影：
球谐光照的实质就是将复杂的光照信号投影到基函数上存储，然后在使用的时候再将基函数上的数据加起来重建光照信号
3、伴随勒让德多项式
想比如正弦信号，伴随勒让德多项式作为基函数不仅是正交的，而且是归一化的，这意味着其具有旋转不变性，适用于动态物体

综合说来球谐光照的基本框架如下所述:
连续的光照方程 -> 离散的光照方程 -> 分解后的光照方程 -> 球谐变换得到球谐系数 -> 利用球谐系数还原光照方程

二.实验

我们先考虑简单的情况，比如说定义一个光照函数：

在球坐标系下，将该函数的值当做光照强度值，可以画出光照在球面上的分布情况：

球谐光照

不过由于这种方式可视化方式对于亮度变换不是很敏感，所以我们把强度当成球坐标系的r，画出来是这个样子：

球谐光照

现在要将这个函数转换成球谐系数表示，首先要做的就是对其进行采样，采样的目标是确定在某个球谐基方向上强度的大小，也即求得每个球谐基Yi对应的系数ci。具体的采样方法如下：

球谐光照

其中N为采样次数。也就是说在计算某个球谐系数ci的时候，首先在球面上采许多点，然后把这些点的光照强度和球谐基相乘（在那个方向上，球谐基函数的分量或者说重要程度就是Yi(xi)），通过这些采样点，从而得到了在每个球谐基函数上光照的分布情况。由于某个球谐基只能大致代表它那个方向上的光照强度，所以需要组合很多个球谐基函数才能近似还原出原光照。需要注意的是：采样时必须要在球面上均匀采样，如果在CubeMap的每个图像上面逐像素采样，将会导致每个面边角亮度提高，中心亮度降低。关于如何在球面上均匀采样方法有很多，比如用正态分布随机生成x,y,z，然后归一化成单位向量。

还原的过程比较简单，通过球谐基与对应的系数相乘得到：

球谐光照

这里L’是还原后的光照，s是球面上的一点（也可以看成某个方向），n是球谐函数的阶数，n^2也即球谐系数的个数。

值得注意的是采样和计算ci是预先进行的，比如说复杂场景中，某个位置预先用光线跟踪方法计算环境光，从而采样出ci，这样这个位置的光照信息就压缩成几个ci表示了。但是重建光照的过程是在运行时实时进行的，从重建光照的过程中可以看出该式非常简单，其中Yi的计算从球谐基函数的表中就可以看出只涉及到简单的乘法和加法，完全可以在shader中实现（球谐基函数中的r一般默认都设置成1）。所以如果给我们一个点的球谐系数，利用上面的公式马上就等得到每个方向上的光照强度。

计算好了球谐系数之后，我们就可以利用这些系数来还原原光照了，利用第二个公式还原之后的效果如下：

球谐光照

从左至右分别是原光照、0~2阶球谐光照、0~5阶球谐光照，从中可以看出到第5阶球谐光照与原光照已经很接近了，只是有小部分的高频信息不同。说明球谐系数越多，还原的效果越好，同时还原光照时能够较好地保留低频部分，而高频信息则丢失得比较多。不过对于光照来说，一般都是比较低频的信息，所以3阶，也就是到l=2时就已经足够了。

抛开简单的函数，如果是复杂的环境光贴图，过程也是一样的，比如对于一个这样的环境光：

球谐光照

对它进行采样并还原之后，得到了这样的结果：

球谐光照

效果还不错，只是高频丢失了很多。不过这是对光照的还原，因此丢失了高频信息关系也不大。

如果把这两个光照投射到球面上进行可视化，就是这个样子：

球谐光照

三.实现

参照该文章 https://lianera.github.io/post/2017/sh-lighting-apply/

四.Unity中实际使用

Unity中，不管是预计算GI与烘培GI，都不会对非静态模型计算间接反射，光探头（LightProbe）的加入，可以使非静态模型得到周围静态模型的幅射光，主要技术原理就是使用的球谐光照的技术，注意light probe一般不会对静态模型有影响，你看到的影响，只是因为非静态模型的颜色变化大造成的反差。

Unity通过烘培时的光线追踪计算出其光照原始信号，然后投影到基函数并存储其系数，Unity 使用了三阶的伴随勒让德多项式作为基函数，我们在Shader中可通过 ShadeSH9 函数获取重建信号，ShadeSH9 实现在 UnityCG.cginc 文件中，具体代码如下：

// normal should be normalized, w=1.0
half3 SHEvalLinearL0L1 (half4 normal) {
    half3 x;

    // Linear (L1) + constant (L0) polynomial terms
    x.r = dot(unity_SHAr,normal);
    x.g = dot(unity_SHAg,normal);
    x.b = dot(unity_SHAb,normal);

    return x;
}

// normal should be normalized, w=1.0
half3 SHEvalLinearL2 (half4 normal) {
    half3 x1, x2;
    // 4 of the quadratic (L2) polynomials
    half4 vB = normal.xyzz * normal.yzzx;
    x1.r = dot(unity_SHBr,vB);
    x1.g = dot(unity_SHBg,vB);
    x1.b = dot(unity_SHBb,vB);

    // Final (5th) quadratic (L2) polynomial
    half vC = normal.x * normal.x - normal.y * normal.y;
    x2 = unity_SHC.rgb * vC;

    return x1 + x2;
}

// normal should be normalized, w=1.0
// output in active color space
half3 ShadeSH9 (half4 normal) {
    // Linear + constant polynomial terms
    half3 res = SHEvalLinearL0L1(normal);

    // Quadratic polynomials
    res += SHEvalLinearL2(normal);

    if (IsGammaSpace())
        res = LinearToGammaSpace(res);

    return res;
}

三阶的基函数系数分别用了两个子函数来读取，其中

   // SH lighting environment
    half4 unity_SHAr;
    half4 unity_SHAg;
    half4 unity_SHAb;
    half4 unity_SHBr;
    half4 unity_SHBg;
    half4 unity_SHBb;
    half4 unity_SHC;

是 UnityShaderVariables.cginc 中的内置变量，用来存放存储的系数，在实际使用中，我们直接调用 ShadeSH9，配合LightProbe 即可读取到 precompute bake 生成的自发光信息

五.应用与局限

球谐光照最早出现应该是在2002年的Siggraph上，距今还是有些时间了，而且关于其的研究也还有不少学者在做。最近高调发布的BattleField3所使用的Frostbite2引擎中使用了Enlighten实时GI解决方案，其效果令人印象深刻，其中若*分就用到了球谐光照的技术。但是观察其它的主流引擎却较少使用该技术（这里是指直接对全部场景做SH来代替LM的模式，不过在生成Light Probe等操作时SH的应用却是必需的），应该说其还是有不少局限的：

由于球谐变换需要在光照方程中的函数上进行，故而一些需要进行变换的信息首先需要进行参数化，然后再投影并得到SH系数，这就涉及到整个引擎中材质、光源的存储、表述等诸多问题；
当前对于球谐参数的存储多是逐顶点进行的，因而对于整个场景要想得到较为平滑、细腻的着色效果需要对场景进行较细粒度的细分。
虽然球谐系数的变换是在预处理阶段生成，但是对于较多的离散采样点、较细的场景细分粒度（对应较多的顶点数）整个预处理的时间代价还是很大的。因这其中涉及到光线跟踪等高密度计算，甚至在使用GPU进行加速之后仍是重量级的时间耗费。
要想在光照方程重建时获得较高的质量就需要存储较多的SH系数，而这些额外的空间无论是对于传输的带宽，还是设备存储的占用均是劣势所在。

参考文章链接：

https://lianera.github.io/lianera.github.io/post/2016/sh-lighting-exp/（本文多摘录于此，感谢前人写这么好的文章）

https://lianera.github.io/post/2017/sh-lighting-apply/

https://gameinstitute.qq.com/community/detail/101099

https://blog.****.net/NotMz/article/details/78339913

球谐光照

一.原理

二.实验

三.实现

四.Unity中实际使用

五.应用与局限

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