第六章 鞅
6.1 鞅的定义和基本性质
【定义】如果一个随机变量的序列满足：
E[ Xi | X1,X2,…,Xi-1 ] = Xi-1
则该序列是一个鞅。
【辅助定义】条件期望
E[Y|X] = Σ y * Pr[Y=y|X]
可以理解为：给定一个条件X的取值的情况下，随机变量Y取值的数学期望。
- 【如何理解“鞅”这个数学模型？】
鞅是一组随机变量的序列，给定了前0~(i-1)个变量，预测第(i+1)个变量的值，该值的均值就是该序列的最后一个值。
即，这个模型告诉我们，序列的增长不会偏离过多。 - 火车跑得快，全靠车头带。
- 【如何量化这种偏离的概率？】
Azuma不等式
【Azuma不等式】
- 【如何理解Azuma不等式？】
对于随机变量序列，如果每步
• 从平均看，不会偏离当前的值(鞅)
• 取值不会有大的跳跃
则其最终取值不会偏离初始值太远。
Azuma不等式的意义在于，它给出了对鞅序列末尾取值偏离起始取值超过一定阈值的概率的估计。