(简易)一元三次方程拆分/求根方法

例:$x^3+7x^2+14x+8=0$x3+7x2+14x+8=0
式中常数8的因子有[1,2,4,8]
为了让因子之和或差等于二次项的系数.故舍弃8.故根为拆分出的因子的相反数.
$x_1=-1, x_2=-2,x_3=-4$x1​=−1,x2​=−2,x3​=−4即拆分为$(x+1)(x+2)(x+4)=0$(x+1)(x+2)(x+4)=0且三个根两两之间的乘积的总和等于一次项系数,即$(-1*2)+(-1*-4)+(-2*-4)=14$(−1∗2)+(−1∗−4)+(−2∗−4)=14

拆解步骤

例1:$x^3+9x^2+23x+15=0$x3+9x2+23x+15=0

1. 15的因子为[1,3,5,15]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数,故舍去15
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-3,x_3=-5$x1​=−1,x2​=−3,x3​=−5
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数$(-1*-3)+(-1*-5)+(-3*-5)=23$(−1∗−3)+(−1∗−5)+(−3∗−5)=23
5. $(x+1)(x+3)(x+5)=0$(x+1)(x+3)(x+5)=0

例2:$x^3+10x^2+27x+18=0$x3+10x2+27x+18=0

1. 15的因子为[1,2,3,6,9,18]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数且只需保留3个,故舍去9,18,而1+3+6=10,故舍去2
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-3,x_3=-6$x1​=−1,x2​=−3,x3​=−6
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数$(-1*-3)+(-1*-6)+(-3*-6)=27$(−1∗−3)+(−1∗−6)+(−3∗−6)=27
5. $(x+1)(x+3)(x+6)=0$(x+1)(x+3)(x+6)=0

重根情况

例3:$x^3-4x^2+5x-2=0$x3−4x2+5x−2=0

1. 2的因子为[1,2]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数且需满足3个,因不足3个则必有重根,为满足因子之和为4,故取[1,2,1]
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-2,x_3=-1
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数$(-1*-2)+(-2*-1)+(-1*-1)=5$(−1∗−2)+(−2∗−1)+(−1∗−1)=5
5. $(x+1)^2(x+2)=0$(x+1)2(x+2)=0

判断是否存在+1,-1的根

• 考试中一般三次方程会有一个1或-1的根.因为+1,-1是任何数的因子.
• 判断是否有+1,-1的根,即隔次项系数相加等于另一组隔次项系数相加.
  例$x^3+9x^2+23x+15=0$x3+9x2+23x+15=0

1. 三次项系数+一次项系数(1+23)=24$[1式]$[1式]
2. 二次项系数+零次项系数(9+15)=24$[2式]$[2式]
3. 因为$[1式]=[2式]$[1式]=[2式],故必有一个根为(-1)
4. 若[1式]和[2式]互为相反数,即$[1式]=-[2式]$[1式]=−[2式],则必有一个根为1.

方法失效的情况

• 当上述方法不起租用说明可能存在共轭根
  例$s^3+s^2-2=0$s3+s2−2=0此时$1+2+1\neq1$1+2+1​=1,且$(-1)+(-2)+(-1)\neq1$(−1)+(−2)+(−1)​=1,
  但判断是否存在$\pm1$±1的方法依然有效.
  当判断存在一个$\pm1$±1根后可用长除法.
  因为有一个根为(1),故除数为(s-1)
  结果$(s-1)(s^2+2s+2)$(s−1)(s2+2s+2)此时再用配方法,十字相乘公式法等化简.