1.1现金和银行存款的时间价值

• 银行存1元，未来的任意时刻，账户里除1，还得到利息。
• 如果年利率是$r$r，且每年计息一次，一年后得到

$（1+r）$（1+r）

• 半年计息一次。半年后存款为
  $（1+\frac{r}{2}）$（1+2r​）
  并且作为下次计息的本金，再过半年银行的存款将会是
  $(1+\frac{r}{2})^{2}$(1+2r​)2

• 每个月计息一次，那年末存款
  $(1+\frac{r}{12})^{12}$(1+12r​)12

• 当计息频率无穷大时，收益是
  $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{n}=e^{r}，e=2.718\cdots$n→∞lim​(1+nr​)n=er，e=2.718⋯

• 称连续复利计息

 

• 利率为常数$r$r时，且连续复利计息时，0时刻开始，到$t$t时刻银行存款价值为
  $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{nt}=e^{rt}$n→∞lim​(1+nr​)nt=ert
• $t$t时刻的1美元，在0时刻是$e^{-rt}$e−rt元。

 

• 如果$r$r随时间变化，就有随时间变化的利率函数$r(s)$r(s)，称短期利率
• 连续复利计息情况下。
• 存款变为
  $e^{(\int_0^t r(s)ds)}$e(∫0t​r(s)ds)
• $t$t时刻的1，0时刻就是
  $e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$e(−∫0t​r(s)ds)

 

• 银行账户时讨论金融问题的一个基本的参照点，因为这种资产可以带来没有任何风险的收益。
• 当一种投资带来的收益要小于银行存款利率并且还带有亏损的话，那么决策从金融角度讲将是愚蠢的。

 

• 除银行账户外还有另一个基本的参照点，

  • 那就是无息债券。

• 无息债券是有固定收益的债券，

  • 本金只在最终的到期日付给投资人，中间没利息。

• 这里考虑无风险的债券，美国的发行的国债在市场上认为没有风险。

  • 由于这种债券没有利息，初始价格自然要少于本金，
  • 但初始价格到底是多少取决于从现在至到期日的利率。

• $T$T时刻到期的本金为1的无息债券在$t$t时刻的价值记为
  $B(t,T) 或者 B_{t}(T)$B(t,T)或者Bt​(T)

• 当利率非随机的并等于常数$r$r时，那么初始价格是
  $B(0,t)=e^{-rt}$B(0,t)=e−rt

• 当利率是非随机,一个时间函数$r(s)$r(s)，那么初始价格只能是
  $B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$B(0,t)=e(−∫0t​r(s)ds)

• 如果短期利率是随机的，那么$B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$B(0,t)=e(−∫0t​r(s)ds)也是随机的，而不是一个确定的东西。然而，市场上是时时刻刻交易着无息债券的（也可以从有息债券中组合得到），故而无息债券应该是短期利率的某种概率下的期望，我们写成
  $B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})$B(0,t)=E(e(−∫0t​r(s)ds))

• 如果想要模拟某种短期利率下的未来行为，那上式应该是一个约束。

• $B(0,t)$B(0,t)的值已经在市场上给出，那么我们就可以根据上式将其转化为一种连续复利利率，如下
  $B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})=e^{-r(0,t)t}$B(0,t)=E(e(−∫0t​r(s)ds))=e−r(0,t)t
  这样，对一个时间$t$t，就会有一个连续复利利率$r(0,t)$r(0,t)。这个$r(0,t)$r(0,t)在时刻0我们就可以知道的。但是短期利率$r(t)$r(t)我们必须到时刻$t$t才可以知道，在现在看来，他只是一个随机变量。

• 无息债券的初始价格与连续复利利息之间可以相互转换，

  • 给出了无息债券的初始价格，也就是给出了连续复利利率。

 

• 图1.2: 美国国券的在不同年度到期的利率。
• 一年,两年,直至三十年的利率都不同
• 本书中,多数情况下,都假设利率不变。
• 一个原因是为了简单起见,
• 另外一个原因是本书主要讨论的对象是股票衍生产品,
  • 而在股票衍生产品中,股价的变化是占第一位的,
  • 利率的变化是占第二位的,
  • 所以,我们可以忽略利率的变化而假定它们都相同。

 

 

• $B(0,t)=B_{0}{(t)}$B(0,t)=B0​(t)为贴现因子
• $r(0,t)$r(0,t)贴现率
• 把未来的现金价值换算成现在的现金价值是一个很重要的原理。

$t_1,t_2,......t_n$t1​,t2​,......tn​

• 有现金流
  $c_1,c_2,......c_n$c1​,c2​,......cn​

• 且从0到$t_i$ti​时刻的连续复利率为
  $r_1,r_2,......r_n$r1​,r2​,......rn​

• 未来现金流的折现值就是
  $e^{-r_1t_1}c_1+e^{-r_2t_2}c_2+...+e^{-r_nt_n}c_n$e−r1​t1​c1​+e−r2​t2​c2​+...+e−rn​tn​cn​

• 也把他称为现金流的折现值

 

• 退休养老金产品，
• 每年付现金$c$c。
• 假定贴现利率为$r$r，
• 按照连续复利和计算贴现之后，所有未来现金流的净现值成为：
  $ce^{-r}+ce^{-2r}+...+ce^{-nr}+...=\frac{ce^{-r}}{1-e^{-r}}$ce−r+ce−2r+...+ce−nr+...=1−e−rce−r​

 

• 除连续复利，还用离散复利
• 也就是以年为单位计算利息。
• 此时$t$t时刻的贴现因子为
  $\frac{1}{(1+r)^t}$(1+r)t1​
  在离散复利计息条件下，第6部分的现金流的净现值是
  $\frac{c}{r}$rc​
  这个有啥意思呢？在房地产行业，尤其是出租型的商业地产，人们为了计算它的价值，经常假设一个年出租的净收益，然后用某个离散复利的贴现利率贴现所有的未来净收益。
  如果每年净收益是$r$r，贴现利率是$r$r，那么未来净收益的贴现值将是$c/r$c/r，这个值常用来给商业地产的交易定价。可以看到，$r$r越大，交易值越低，$r$r越小，交易值越高。

1.2均值、标准差及波动率

• 给定一列样本
  $s_1,s_2,......s_n$s1​,s2​,......sn​
  均值定义为
  $\bar s=\frac{s_1+s_2+...+s_n}{n}$sˉ=ns1​+s2​+...+sn​​
  在数学上我们也叫他算术平均(Arithmetic Average)
  其方差被定义为
  $v=\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n}$v=n(s1​−sˉ)2+(s2​−sˉ)2+...+(sn​−sˉ)2​.
  标准差
  $d=\sqrt{\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n}}$d=n(s1​−sˉ)2+(s2​−sˉ)2+...+(sn​−sˉ)2​​
  有时候，方差和标准差也这样写
  $\bar v=\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n-1}$vˉ=n−1(s1​−sˉ)2+(s2​−sˉ)2+...+(sn​−sˉ)2​.
  $\bar d=\sqrt{\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n-1}}$dˉ=n−1(s1​−sˉ)2+(s2​−sˉ)2+...+(sn​−sˉ)2​​
  事实上，$\bar v$vˉ是方差的无偏估计。

第2部分
另一个概念是波动率(volatility)。比方说，你从0时刻到$t$t时刻做了一定投资，资产由$S_0$S0​变为$S_t$St​，那么这次的收益为：
$r=\frac{S_t-S_0}{S_0}$r=S0​St​−S0​​
给定资产价格$S$S，我们看一下他的价格经过等时间的变化情况，设
$t_0<t_1<...<t_n，\Delta t=t_i-t_{i-1}$t0​<t1​<...<tn​，Δt=ti​−ti−1​
资产在这些时刻的价格分别为
$S_0<S_1<...<S_n$S0​<S1​<...<Sn​
我们不去研究价格本身，我们先看他的简单收益：
$r_1=\frac{S_1-S_0}{S_0}...r_n=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_{n-1}}$r1​=S0​S1​−S0​​...rn​=Sn−1​Sn​−Sn−1​​
也可以考虑对数收益(log return )
$r_1=log(\frac{S_1}{S_0})...r_n=log(\frac{S_{n}}{S_{n-1}})$r1​=log(S0​S1​​)...rn​=log(Sn−1​Sn​​)
实际上，简单收益就是对数收益的一阶近似。
收益的均值：
$\bar r=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n}$rˉ=nr1​+r2​+...+rn​​
收益的方差被定义为：
$v=\frac{(r_1-\bar r)^2+(r_2-\bar r)^2+...+(r_n-\bar r)^2}{n}$v=n(r1​−rˉ)2+(r2​−rˉ)2+...+(rn​−rˉ)2​.
波动率：
$\sigma=\sqrt{\frac{(r_1-\bar r)^2+(r_2-\bar r)^2+...+(r_n-\bar r)^2}{n}}$σ=n(r1​−rˉ)2+(r2​−rˉ)2+...+(rn​−rˉ)2​​.

第3部分
注意！尽管这些公式与样本方差和标准差相似，但是描述的对象不一样。
波动率描述的是一个随机运动的路径的波动状况。波动率越大，路径的起伏应该越大；
如果波动率为0，则所有单位间隔的资产的简单收益都是常数，所以，资产的路径是一条直线。
金融中，我们可以讨论未来某一确定时刻$t$t资产价格的标准差。
但是，当我们讨论一个时间序列时候，我们讨论他的波动率，因为波动率显示的是每一条路径的波动情况。
我们还经常把波动率以年为单位折算，即
$\sigma=\frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{\frac{(r_1-\bar r)^2+(r_2-\bar r)^2+...+(r_n-\bar r)^2} {n}}$σ=t​1​n(r1​−rˉ)2+(r2​−rˉ)2+...+(rn​−rˉ)2​​.
这叫做平方根法则。

1.3常见股票衍生产品

1.3.3 远期

第一部分
股票或指数的远期(Forward)
甲方在未来时刻$T$T以价格$K$K从乙方那里购买股票或股票指数，乙方也必须；
$S_T$ST​表示时刻$T$T股票或指数的市值
甲方的经济收益为
$S_{T}-K$ST​−K
第2部分
我们把股票或者股票指数在$T$T时刻到期的远期价格记为$F_T=K$FT​=K

第3部分
连续复利率是$r$r，股票的现值是$S_0$S0​，那么他们在时刻0交易的关于时刻$T$T的远期价格都是
$F_{T}=S_0e^{rT}$FT​=S0​erT
哈哈哈哈哈！

第3部分