概率论中的“矩”是什么意思

在前两篇文章（时域分析——有量纲特征值含义一网打尽、时域分析——无量纲特征值含义一网打尽）中提到了“矩”这个概念。例如期望是一阶矩，方差是二阶矩等等。要怎么理解“矩”这个概念呢？

说到“矩”，很容易想到物理学上的“力矩”，而“力矩=力臂×力”。我们从力矩开始说起。

原点矩

首先我们来看一个例子：

这里有一个船舵，有三个船员都用力转动船舵，不过着手点力臂分别L1 、L2和L3。那么平均力矩是多少？

                   (1)

有个问题，如果有个船员反向推动船舵，要怎样衡量大家用力的总能量呢？很简单，将力取平方。比如F2对应的力方向相反，则平均能量可以写成：

                 (2)

（1）式即一阶原点距，（2）式即二阶原点距。所谓一阶二阶，指代的是力矩的阶数。前者衡量的是力矩的平均水平，后衡量的是能量。所谓“原点”，是因为力矩的计算是指向船舵原点的，但既然有指向原点的“原点矩”，就有指向其他位置的矩，这种矩叫“中心距”。

中心矩

这个“中心”，指的是哪里呢？——是平均值。为了便于理解，我们将上述例子中的力取相等的F。且取L1=5l、L2=6l、L3=4l。

那么“中心”指的就是，画出来就是这样：

也就是图中的红圈，其代表的力矩是5Fl，这是中心距计算里的“中心”，也就是力矩的平均值。

（1）那么一阶中心距是：

是的，一阶中心距一定等于零，所以你听到的中心距一定是从二阶开始的。

（2）那么二阶中心距是：

有没有觉得眼熟？没错，二阶中心距就是方差。它衡量的是例子中，三个力矩的离散程度，这个可以直观地理解到。

（3）同理，三阶中心距就是：

三阶中心距也叫偏度。是的，跟我们之前文章里提到的“偏度因子”是有关的。要记住带“因子/系数”的都是无量纲的，怎样消除的量纲呢，也很简单，对于三阶中心距，除以标准差的三次方，即可消除量纲。即：

这里再一次印证了标准差的妙用，因为它的量纲与原物理量一致，常常用幂指数的方式消除量纲，上一篇文章中的相关系数也是用标准差消除量纲的。

（4）依旧同理，四阶中心距就是：

四阶中心距也叫峭度或者峰度。峭度因子是消除量纲后的峭度，方法是除以标准差的四次方。即：

综合上述“原点矩”和“中心矩”的描述，其一般表达式分别为：

原点矩：

中心距：

 

好了，关于概率论中的“矩”的概念基本都介绍完了，下次在看到“几阶某某矩”不明白的时候可以找出这篇文章看一下，相信对你的理解能有所帮助。

 

总结一下

 

参考：

https://blog.****.net/huguozhiengr/article/details/81607637

 

 

 

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