初识分治法，动态规划——中位数,Gray码与零钱问题
通过学习“算法设计与分析”课程，我想对于那些经典的算法，除了在理论上“认识”他们外，最主要是在思想上学会他们，接受他们，这样不知不觉地培养了我们一种严密的思维能力，并且运用所学知识结合具体问题设计适用的算法的能力。而且那些经典算法也有很多复杂的应用领域，但是对于没有涉足这方面的人来说，由“认识”他们再上升到算法思想上的掌握也是很有必要的。
下面介绍的几个应用例子都是相对来说不是很难的，主要是先有一种感性的认识。
- 有关分治法思想
分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。为了解决一个大的问题，可以： 1) 把它分成两个或多个更小的问题;
2) 分别解决每个小问题;
3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
中位数问题
问题的提出
对于两个长度均为n的已排序的序列,确定这两个序列的2n个元素的中位数
解决此问题的算法思想
设两个长度为n的数列分别为x[ 0 : n -1]和y[ 0 : n -1],分别找出这两个数列的中位数x[i]和
y[ j ],二者进行比较,根据比较结果可以在每个数列中减少一半的搜索范围,然后再分别取
两个子数列的中位数再比较,再减少搜索范围,继续下去直到找到最后结果
求解过程
查找范围确定：
-
当n为奇数时，令n=2m +1，则两个数列的中位数分别为x[ m ]和 y[ m ]，则：
x[0:m-1]<x[m]<x[m+1:2m]和
y[0:m-1]<y[m]<y[m+1:2m]
若 x[m]<y[m]
若整体中位数x[k]在x[0:m-1]中，则
x[k]<x[m]<x[m+1:2m]且 x[k]<y[m]<y[m+1:2m]
则x[k]至少小于2m+2即n+1个数，而整体的中位数应该是第n个数，它小于n个数，所以整体中位数不在x的前半部分，同样不会在y的后半部分。
x[m]至少小于n个数，y[m]至少大于n个数，所以这两个局部中位数都有可能成为整体中位数．
所以再次查找范围为x[m:2m]和y[0:m] -
当n为偶数时，令n=2m ，则两个数列的中位数分别为x[ m-1 ]和 y[ m-1 ]，则：
x[0:m-2]<x[m-1]<x[m:2m-1]和
y[0:m-2]<y[m-1]<y[m:2m-1]
若 x[m-1]<y[m-1]
若整体中位数x[k]在x[0:m-2]中，则
x[k]<x[m-1]<x[m:2m-1]且 x[k]<y[m-1]<y[m:2m-1]
则x[k]至少小于2m+１即n+1个数，而整体的中位数应该是第n个数，它小于n个数，所以整体中位数不在x的前半部分，同样不会在y的后半部分。
x[m-1]至少小于n+1个数，所以其不会成为整体中位数，y[m-1]至少大于n-1个数，所以它有可能成为整体中位数
所以再次查找范围为x[m:2m-1]和y[0:m-2]
举个例子：
x={10, 15, 16, 19, 24}
y={11, 17, 18, 20, 23}
x1={16, 19, 24} y1= {11, 17, 18 }
x2={16,19} y2={17,18}
x2={19} y2={17} ————出口，应单独处理
y={11, 17, 18, 20, 23}
x1={16, 19, 24} y1= {11, 17, 18 }
x2={16,19} y2={17,18}
x2={19} y2={17} ————出口，应单独处理
x={10, 15, 16, 19}
y={11, 17, 18, 20}
x1={16, 19} y1= {11, 17}
x2={16} y2={17}
mid=16
y={11, 17, 18, 20}
x1={16, 19} y1= {11, 17}
x2={16} y2={17}
mid=16
数据输入
由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=200），表示每个数组有n个数。接下来的两行分别是X，Y数组的元素。
由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=200），表示每个数组有n个数。接下来的两行分别是X，Y数组的元素。
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输入文件示例
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输出文件示例
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input.txt
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output.txt
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3
5 15 18
3 14 21
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14
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C++实现：
Gray码问题
Gray码是一个长度为2n的序列。序列中无相同的元素，每个 元素长度都为n位的串，相邻元素恰好之有一位不同，对任意的n位如何构造相应的Gray码。
对于n=4的Gray码，如下图所。
上图 第1列从最左边算起
实现这个问题的方法是，递归上半部分，下半部分对称复制上半分部即可
由文件input.txt提供输入数据n。
用C++ 实现：
- 有关动态规划的思想
零钱问题
设有n种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱，可以实用的各种面值的硬币个数不限。当只用硬币面值T[1],T[2],…,T[i]时，可找出钱数j的最少硬币个数记为C(i,j)。若只用这些硬币面值，找不出钱数j时，记C(i,j)=∞：<shapetype id="_x0000_t75" stroked="f" filled="f" path="[email protected]@[email protected]@[email protected]@[email protected]@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"></shapetype><shape id="_x0000_i1025" style="WIDTH: 415.5pt; HEIGHT: 231pt" type="#_x0000_t75"><imagedata src="file:///E:%5CDOCUME~1%5CADMINI~1%5CLOCALS~1%5CTemp%5Cmsohtml1%5C08%5Cclip_image001.jpg" o:title="666"></imagedata></shape>
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« 数据输入
由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=13），表示有n种硬币可选。接下来的一行是每种硬币的面值。由用户输入待找钱数j。
使用C++语言实现