图解线性代数二
- 基变换
- 特征向量与特征值
- 抽象向量空间
- 克莱姆法则
基变换
普通基变换(下图的A矩阵将在后面作为用我们的语言表示的詹妮弗的基空间)
从几何上说，这个矩阵将我们的网格变换为詹妮弗的网格。
但是从数值上说，这是用她的语言来描述转化为用我们的语言来描述(这里注意它的逆可以使对应关系相反)下面两张图展示向量[3 2]在詹妮弗的语言中表示什么，也就是该向量左乘A矩阵的逆所表示的向量
接下来讨论另一种情况 在"我们的语言"中表示逆时针旋转90°的矩阵表示
依次运用基变换、线性变换、基变换的逆运算 可以求出 詹妮弗的基空间(不同基空间)的矩阵表示 (从右往左)
其结果即为詹妮弗的语言描述的 v 向量旋转90°的变换矩阵
总结：表达式A-1MA暗示一种数学上的转移作用，中间的矩阵代表你所见的变换，而外侧矩阵代表着转移作用，也就是视角上的转化。
矩阵乘积仍然代表着同一个变换，只不过是从其他人的角度来看的
特征向量与特征值
在空间中的向量，若对它进行乘法运算，它最后的结果向量仅仅表示为拉伸或压缩，而不发生旋转，那么这样的向量被称为特征向量。而这些向量的值，被称为特征值，即衡量特征向量在变换中被拉伸或压缩的比例因子。运算
对角矩阵
矩阵的行列式为0表示空间被压缩
对角矩阵的所有基向量都是特征向量，而对角线上的值为每个向量所属的特征值
抽象向量空间
线性的严格定义：可加性、成比例
克莱姆法则
正交变换：不改变点积的矩阵变换克莱姆法则求解思路(适用于方程数与未知数相等的情况)：一个图形被压缩或拉伸的比例是引起其变换的行列式，又已知最后变换的情况，因此可以得出每个变量前后图形变换的等式。
