十五分钟了解朱利亚集
分形之朱利亚集
——零·开始—-
我们总说,一花一世界。在我们看来,自然给予我们的微小的细节,我们也渴望能从中获得一些上帝的启示。
那么来看一张图
很简单的4个线段,人类就会想,会整合,去猜测简单的4个线段的规则:
F−F++F−F
规则: F :向前 - :左转60°+ :右转60°
下一步:我们的野心想将他扩大,我们以这个规则在原有的基础上,迭代一次会如何?
然后:我们继续迭代:
一切好像和一开始不一样了。复杂,而又神秘。
我们开始想一个问题:如果我们一开始看到的是这个图形,而不是刚才那个简单的4个线段,我们们还可以一下子想出那个总结出我们的人为的规律吗?
我想这个答案可能会让我们犹豫一会儿。人类就是这样,我们希望我们可以理解万物,我们用我们的智慧去总结,可是到头来我们会发现,越总结,我们越无知。
人类一思考,上帝就发笑。这就是我理解的分形
曼德勃罗这样说:
—-一·欣赏—–
朱利亚集
什么是朱利亚集:
他是法国数学家加斯顿·朱利亚命名的数学概念。朱利亚集的神奇之处在于:其数学定义非常简单,但他生成的图像却复杂的令人不可思议,其中包含了深邃的数学原理——或者还有我们人类自己臆想的哲学。
既然是一个集合,那么我们来看一下,这是这些集合中我们随便拿出几个,我们来看一下,他们的面目:
可以从这些图片中找到规律么?
我们继续来看,看看分形的秘密:
—-二·特性——
自相似(Self-similarity):
看图:
通过图像放大的说明。这个面板没有放大。
我们继续放大:
分形与上面相同,放大倍。相同的图案再次出现,
继续:
放大了x100倍
再来:
还是可以看到和上面相同的分形,而这次我们放大了2000倍,由于图片质量的问题,图片变得模糊了
这就是自相似性:其特点是:图片的每个微小的局部,都和整个图形的样子相似。我们以为我们看到的是一个复杂的宇宙,其实里面只有我们最为熟悉的水和空气
图片可能不够直观,我们用几张GRF来更直观的表示一下,自相似性:
—–三·得到—–
3.1我们知道了,在我们的自然界中,总有一些东西是我们无法真的去一眼看出规则的,对于一眼看上去更为复杂的朱利亚集来说,我们的好奇心需要我们的去再次探索他的规则。
自然就是这样,复杂中,会给我们惊喜。
一切的起源来自这个简单的公式:
z(n+1)—–> z(n)*z(n) + c
(公式)
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(图像)
一切从这里开始。
3.2其中这里我们用到了简单复概念:Z。
我们知道我们的一般的一个字母,在数学中可以代表一个数,这个数可以是我们数轴上任意的一个数。但是这能是一个数。比如,我们在一种情况下让我们的X表示1。那么我们在这种情况下的X就是为1了。
可是这里的复数Z不再表示一个数轴的上的数了,他表示一个坐标上的数。也就是表示了一个坐标上的点。
比如Z表示了(2,7)
,
其中我们把坐标(X,Y)中的,X叫做:实部。Y叫做:虚部。仅此而已
现在,我们知道了朱利亚集的公式:
z(n+1)—–> z(n)*z(n) + c
(这里的C是常量,当我们的C变得不一样的,我们的图形也将千差万别)
那么这个公式如何来变成那些美妙的图像的呢?————迭代
如果我们有一个起始点Z(n),计算得到了另一个点Z(n+1),那么此时这个Z(n+1)变成了下一个时刻的Z(n)。一直这样,无穷尽也。
那么我们来改变C的变量,让随便的选取一个Z(n)的值,然后我们开始看看这个变化的图形。
c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i
c=0.285+0i
c=-0.70176-0.3842i
—-四.开始-—–
基础的已经讲完了,可是一切才刚刚开始
我们从简单开始然后遇到了复杂,可是我们站在巨人的肩膀上看到了那些复杂的规律。就像我前面说的,人类一思考,上帝就发笑。
可是我们人类必须一直思考,不是为了什么,只是自然太美,我们还不懂欣赏
下一次,我们继续分形,看看自然,一起开始。
后面附赠曼德勃罗的TED。
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