MIT18.06线性代数课程笔记10:column space、row space、null space、left null space
课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。
课程笔记
此部分讨论了矩阵四个基本子空间的定义、性质以及求解方法。
1. 定义
关于column space和null space的定义请参考 MIT18.06线性代数课程笔记6:vector space,subspace,column space,null space,简单的说column space是矩阵
由此推出row space和null space的定义也十分简单:row space就是
2. 性质
首先四个子空间都是大空间的subspace,第一个性质就是讨论各自所在的大空间,完全由集合内部元素的维度限制。设
然后讨论四个空间的维度,由之前的内容可知
笔者注:笔者不记得Strang给出过
Dim(C(A))=r(A) 的严格证明,这里尝试说明一下。实际上仍然使用的是行变换矩阵E 和P 的可逆性,设对A 做消元回代得到EA=R ,其中E 是多个行变换矩阵的乘积,仍然是方阵且可逆。那么在R 为free column的rf ,容易发现可以表示为所有的pivot column[rp1,rp2,⋯,rpi] 的线性组合,即∃c,[rp1,rp2,⋯,rpi]c=rf 。因为Eai=ri ,所以有∃c,E[ap1,ap2,⋯,api]c=Eaf ,因为E 可逆,所以∃c,[ap1,ap2,⋯,api]c=af 。即free column可以表示所有pivot column的线性组合在A 中仍然成立。至于Dim(N(A))=m−r(A) ,则是受限于free column的数量,若另外存在某个向量x∉N(A),Ax=0 ,这里的N(A) 是所有m−r(A) 个xp 的span,(而xp 的计算请参考 MIT18.06线性代数课程笔记7:使用消元法求解Null space)。若x∉N(A) ,则有{x}∪N(A) 的span包含有所有free column对应位置设为0,某个pivot column仍然不设为0的向量,从而推出pivot column之间线性相关。而A 中的pivot column线性相关可以推出R 中对应的pivot column线性相关,但是通过主元pivot的定义可知R 中的pivot column线性无关。从而Dim(N(A))=m−r(A) 。
3. 计算四个子空间的基向量
如上所述,
至于row space和left null space,一个直观的想法是同样求解
首先回顾消元法,使得notation更加明确,即对
那么第一个结论就是
对于left null space的基向量,需要一些小trick。首先观察left null space中包含哪些向量,