Defination

给一个无向连通图，生成一颗边权和最小的树

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Algorithm

Prime： 看作两个集合，每次找出集合间最小的边选入，把对应点选入。
该算法中，“集合”和“讨论集合之间的边”的思路很妙，在删边最短路和删点最短路中都有运用。

kruskal：sort边，从小到大加入。

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Application

1.martix tree 定理 （咕咕）

2.对算法的思考：每一条边的地位相同，只是边权不同。本质贪心。

3.瓶颈路：做一遍最小/大生成树，倍增找路径上最大/小的边。本质贪心。
-应用：（不一定要把整棵树建出来）noip模拟T2

4.数据结构优化 动态加边/删边（只删/只加）。若形成环，该边可以替代环上任意一条边，然后 lct/树剖 维护最值即可。 删边 / 任意删边

5.动态合并（每次合并相关点数较小）： 一条边试探加入，只会影响所成环上的所有边。更具体的，是环上的最值边。所以建一个有关端点的虚树，把边权压缩成两点间的最值边，每次把虚树上的边和待试探边拿来kruskal即可。sdoi2019世界地图

6.二分check。生成树在一些情况下具有单调性。如（最优比例生成树）： 做一个0/1分数规划即可。

7.最优乘积生成树 即：$minimize:\sum a[i] *\sum b[i]$minimize:∑a[i]∗∑b[i]。

• 设$\sum a[i]=x,\sum b[i]=y,$∑a[i]=x,∑b[i]=y,有$minimize :k=x*y$minimize:k=x∗y $->$−>$y={k\over x}$y=xk​离坐标轴最近。

$\overline{AC}*\overline{AB}\ge0$AC∗AB≥0
$k_{1,A,B}*\sum x[c]+k_{2,A,B}*\sum y[c]+b_{A,B}\ge0$k1,A,B​∗∑x[c]+k2,A,B​∗∑y[c]+bA,B​≥0

• 直接在每一个点的$x$x,$y$y上修改，跑最大生成树即可。
  如果没有满足的$C$C,break；
  否则递归{A,C},{B,C}，中途取$min$min即可。