沃尔什函数

拉德马赫函数

正弦波分频后进行比较输出矩形波引出Rademacher 函数（拉德马赫函数）定义为：
$R(k, t) = sgn(sin(2^k\pi t)) \quad k = 0, 1, 2, .....$R(k,t)=sgn(sin(2kπt))k=0,1,2,.....
其中sgn是正负号函数：
$sgn(x) = \begin{cases} 1,\quad x >0 \\ -1, \quad x < 0 \end{cases}$sgn(x)={1,x>0−1,x<0​
当x= 0 是，sng无定义。
R(k, t)的定义域为[0，1）那么拉德马赫函数的图像如下图：

函数中2^k 相当于对方波进行分频。将周期[0,1) 分成2^k 份。在后半周期函数值为-1；
尝试R(K,T)，它是一组正交基函数。
将拉德马赫函数周期延拓，它是奇对称函数，无法表示偶函数，所以它不是一组完备正交基函数。它只是沃尔什函数一个子集。有拉德马赫函数可以引出沃尔什函数。

沃尔什函数

正数n可以由二进制表示
$n = \sum_{k=0}^{m-1} n_{k}2^k\quad n_{k}=0\space or \space1$n=k=0∑m−1​nk​2knk​=0 or 1
定义沃尔什函数WAL_p(n,t):
$WAL_{p}(n,t) = \prod_{k=0}^{m-1} R(k+1, t)^{n_{k}}\quad t\in [0,1)$WALp​(n,t)=k=0∏m−1​R(k+1,t)nk​t∈[0,1)
R(k,t)是拉德马赫函数, m是能够表示n的二进制位数。

例：
$9 = 1 * 2^{3} + 0 * 2^{2} + 0 * 2^{1} + 1 * 2^{0}$9=1∗23+0∗22+0∗21+1∗20
$WAL_{p}(9,t)\quad = R(1,t)R(4, t)$WALp​(9,t)=R(1,t)R(4,t)

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