Understanding Quaternions 中文翻译

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在计算机图形学中，我们使用转换矩阵来表示空间中的一个位置以及朝向。一个转换矩阵还可以表示对一个目标的缩放(scale)或错切(shear)等。 我们可以把转换矩阵想象成一个空间，当你用这个矩阵乘以向量、点（甚至矩阵）后， 你就把向量、点、矩阵转换进这个空间了。

在这篇文章中，我不会讨论转换矩阵的细节。你可以查看我前面的文章，文章中描述了转换矩阵的细节。

在这篇文章中，我想要讨论一个可替代的方案，即用四元数来描述空间里的物体的朝向。

四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

1.复数

我们可以认为，对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。

让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点：

p乘以i后得到q：

q乘以i后得到r：

r乘以i后得到s：

s乘以i后得到t：

t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上，就得到下面的图：

我们也可以按顺时针方向旋转，只需要把上面的乘数i改成-i。

我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转，只需要定义下面这个复数：

任意的复数乘以q：

也可以写成矩阵的形式：

这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。

了解了复数系统和复数平面后，我们可以额外增加2个虚数到我们的复数系统，从而把这些概念拓展到3维空间。

四元数的一般形式：

上面的公式是根据Hamilton的著名的表达式得到的：

以及：

Hamilton自己也发现i、j、k虚数可以被用来表达3个笛卡尔坐标系单位向量i、j、k，并且仍然保持有虚数的性质，也即

和复数类似，四元数也可以被加减：

如果把下面的表达式代入上面的等式：

我们就得到了：

这就是四元数乘积的一般式。

回忆下复数范数的定义：

一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数：

两个实四元数的乘积是另一个实四元数：

四元数的系数缩放

我们也可以用一个系数（实数）去乘四元数：

我们可以用实四元数与普通四元数的乘积，来确认这个等式是否正确：

和实四元数相似，Hamilton也定义了纯四元数。纯四元数是s=0的四元数：

也可以写成下面的形式：

然后是2个纯四元数的乘积：

我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和：

给定任意的向量v，我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积：

将这个定义和纯四元数的定义结合，就得到了：

然后，我们可以定义单位四元数了，它是一个s=0、vv为单位向量的四元数：

我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起，就创造了一种新的四元数的表示法，这种表示法和复数的表示法形似：

这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法：

共轭四元数的计算，就是将四元数的虚向量取反：

四元数和它的共轭四元数的乘积：

四元数范数

回忆下复数范数的定义：

类似的，四元数的范数可以这样定义：

这也让我们可以这样表达四元数范数：

利用四元数范数的定义，就可以对四元数进行规范化。要让一个四元数规范化，只需要让这个四元数去除以它的范数：

举一个例子，让我们规范化下面这个四元数：

第一步，先计算q的范数：

然后，q除以|q|:

和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:

我们也可以利用四元数点积，来计算四元数之间的角度差：

对于单位四元数，我们可以简化上面的等式：

前面我们定义了一个特殊的复数：旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的：

根据四元数和复数的相似性，应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数：

让我们测试一下这个理论是否可靠，方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步，我们把p写成纯四元数的形式：

以及单位四元数q：

从而：

我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。

让我们先考虑特殊的情形：正交。这种情况下，点乘部分等于0：。所以上面的四元数就变成了纯四元数：

这时候，要使p绕旋转，我们只需要代入：

现在，让我们找一个例子来测试上面的公式。譬如绕z轴(就是k轴)旋转45度，那么我们的四元数q就变成：

然后，选一个特殊的p，并且p要和k轴正交，譬如把p放到i轴上，也就是：

好了，现在计算下qp：

这正是我们所期望的！

我们可以用图像展示旋转过程：

现在，让我们考虑更一般化的四元数，即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度：

然后算qp：

代入我们设定的v^,p，以及

θ=45∘，得到

注意，算出来的结果已经不是纯四元数了，并且，它并没有旋转45度、范数也不再是2(反而变小了，变为根号3）

我们可以用图像展示旋转过程：

然而），如果对qp右乘q的逆，出来的结果是一个纯四元数，并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。

首先计算:

现在，把前面算出来的qp再次拿出来：

这下是纯四元数了，并且它的范数是：

这和原始的p的范数一致。

下面的图像展示了旋转结果：

所以我们可以看到，这个结果是一个纯四元数，并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题：向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍！为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度，我们必须以目标角度的一半来计算。因此，我们构造了下面的四元数：

这就是旋转四元数的一般形式！

下一节中，我们将利用着一般形式，通过旋转轴的单位向量，旋转角度θ，来学习三位旋转的四元数方法，以及用此方法进行编程。