著名的三门问题

著名的三门问题

问题描述:

• 这个数学问题来源于一个娱乐节目。节目中有一位参与者和一位主持人，在参与者的面前有三扇关闭的门，其中两扇门的后面是空的，剩下一扇门后是一辆法拉利跑车。
  
• 主持人知道哪一扇门后面有跑车，但参与者不知道。此时让参与者人选一扇门，如果选择的是后面有跑车的那扇门，跑车就作为奖励送给参与者。
  问题一直到这里都很简单：一共有三扇门，参与者随机做选择，获奖几率肯定是1/3。
  
• 下面是问题的重点，当参与者进行选择以后，暂时先不打开这扇门，接下来主持人把剩下两扇门当中的一扇打开，是空门。
  
• 此时主持人给了参与者重新选择的机会：可以坚持刚才选择的门（在图中是2号门），也可以换另一扇没有打开的门（在图中是1号门）。
  如果你是游戏参与者，你怎样选择的获奖率更大？获奖率又是多少？

独立事件与条件概率

• 此游戏讨论的关于是否“换门”的获奖概率不是一个独立事件，必须以第一次的选择作为基础。在概率学中，这种情况叫做条件概率
• 何为独立事件？
  • 举个例子，假如游戏的参与者本来是小灰，当小灰选择一扇门，而主持人打开一扇空门之后，不明真相的小红从外面跑了进来。小红并不知道当初小灰选择的是哪一扇门，只知道剩下两扇关闭的门中，有一扇门藏有奖励。
    那么此时对于小红来说，无论选择哪一扇门，获奖率都是50%，因为小红是在做独立的选择，而不是基于第一次的选择来”换门”。
    
  • 这才是所谓的“独立事件”

  从多个角度来看思考

  • 角度一： 基于“贝叶斯理论”的思想来分析换与不换的获奖率-----“贝叶斯理论”在此不再赘述
    
• 直白地讲，就是把第一次选择和第二次选择的所有情况进行细化，分析出每一种情况下的条件概率，再把这些概率进行加总，得到了最终的结果：
  不换门的获奖率 = （1/3 X 100%）+（1/3 X 0%）+（1/3 X 0%）=1/3
  换门的获奖率 = （1/3 X 0%）+（1/3 X 100%）+（1/3 X 100%）=2/3
  有些小伙伴看了分析以后，仍旧感到不以为然，OK，这一定是小灰讲得不够清楚。
  那么这一次，就让小灰从更多的思考角度，来解释这个反直觉的问题。

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• 角度二：
  • 假设没有主持人帮助打开空门这一步，那么我们换门和不换门的获奖率各是多少呢？此时，换门也包括两种换法，但无论怎样选择，获奖率都各占1/3：

而主持人打开空门的这一操作，让换门的获奖率提升了一倍。为什么呢？因为换门的选项从两个减少到一个，正确率自然加倍了，从原来的1/3，提升到了2/3；而不换门的获奖率，仍然固定在1/3：

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• 角度三：
• 思考一个更加极端的例子，假如我们的游戏中有10000扇门，而不是3扇门。
  此时，当你选择了一扇门之后，你的获奖率是一万分之一。接下来，主持人为你打开9998扇空门，这时候，你该不该换门呢？
  显然是应该换的。因为不换门的情况下，你中奖的几率是微乎其微的，而换门的中奖几率高达9999/10000！
  

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• 角度四：
• 仍然回到三扇门的情况，在你第一次选择一个扇门的时候，你的获奖几率是1/3，这个是毫无疑问的。
  如果此时给你一个“特殊选择”，让你要么坚持选定当前的门，要么把除了刚才选定的门以外的所有门全部打开，里面只要有任何一扇门有奖励，你就能获奖。那么，你觉得是否应该做出这个特殊选择呢？
  显然，这个特殊选择的获奖率是2/3，你肯定应该做出这个特殊选择。
  而在我们的问题当中，主持人替你打开一扇空门，留下你第一次选择的门和另一扇关闭的门，并给你一次换门的机会。
  这个换门的选择，和刚才所描述的**“特殊选择”**，实际上是等价的。

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• 写在最后
  • 三门问题读者第一次接触到这个问题是在一个电影里（《决胜21点》），主人公巧妙的回答教授提出的问题，那个时候对此问题产生了浓厚的兴趣。。在上个世纪的美国，这个问题刚刚被提出的时候，也遭到过许多人的质疑，这些质疑者中有教师，有学者，甚至有数学家。后来人们经过了许多次实验，才逐渐达成共识。
  • 说到 三门问题我们就不得不提一下它提出者，即集美貌和才华于一身的天才人物玛丽莲·沃斯·莎凡特，它是截止目前为止（2008年）止吉尼斯世界纪录所认定拥有最高智商（IQ）的人类及女性。她于1946年出生于美国密苏里州的圣路易斯，在刚满10岁的1956年9月时初次接受斯坦福-比奈智商测验，测得智商高达228 。后来数十年间陆陆续续接受数次智力测试， 最高达到243。