一个高等代数证明题：若AX=0的解空间为U，则U的正交补是由A的行向量组张成的

证明AX=0的解空间的正交补是由A的行向量组张成的，这个题曾是我百思不得其解的一道题。以上解题过程来自我的高代老师，以下的总结是我在看了这个题的解题思路之后的感悟。原题其实是U的正交补是由A的转置的列向量张成的，当然A的转置的列向量就是A的行向量。我当时在想，为什么不是由A的列向量张成的? 你看解空间是U，而AX=0这不就相当于正交吗？所以A的列向量张成的空间不应该就是U的正交补吗？那么原因到底出在哪里呢？其实就是A的解空间U，它的维数应该是变元个数n减去A的秩，而解空间和它的正交补的维数和等于n，所以解空间的正交补的维数就和A的秩是相等的，因而现在就变成A的秩的问题了，如果A满秩的话则解空间只有0向量，则它的正交补就是整个空间。这时候A的行秩等于A的列秩等于A的秩，因而这时候就可以说整个空间是由A的行向量张成的，当然也可以说是由A的列向量组张成的。因为如果n阶矩阵A满秩，则它的行向量组与列向量组的秩都是n，所以它们都与n维的基本向量组等价，因而它们也等价，所以这个时候就可以说整个空间是由A的行向量或A的列向量张成的。但是如果A不是满秩的，此时A的行向量组和列向量组的秩相等但不等价，因为它们维数不一样。这时候默认A的行向量个数小于A的列数，不然如果列向量组的个数小于行向量组的个数，就会造成方程的个数大于变元个数，这种情况显然无解，更别提它的解空间的正交补了。所以如果A的行向量个数小于A的列向量个数，那么A的秩也就是解空间U的正交补的维数就由A的行向量的极大线性无关组个数来确定。也就是说解空间U的正交补是由A的行向量组的极大线性无关组张成的，而A的行向量的极大无关组和A的行向量等价。所以结合以上几种情况就说A的解空间的正交补是由A的行向量组张成的。