树状数组浅析
前言:
树状数组作为一种码量比线段树少,时间比线段树短,空间比线段树小的算法,是我们所值得学会的。
但值得注意的是,树状数组不能用于区间修改(当然你可以转成单点一个个改)、寻找区间最小值以及最大值一类的问题。
正文:
先转(dao)载(lai)一张图。
如图,显然可得:
c1=a1
c2=a1+a2
c3=a3
c4=a1+a2+a3+a4
c5=a5
c6=a5+a6
c7=a7
c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
c9=a9
可以发现树状数组利用了二分的思想。
我们先定义一个two(x)表示把十进制x转为二进制,保留从后数起的第一个“1”以及它后面的零,再转为十进制。
我们知道一个正数的相反数的二进制等于正数的二进制取反加一。
two(x)=x&(-x),可以自己举例理解。
那么我们的cx表示的a[x-two(x)+1~x]的和(可视要求什么改为其它)。
如果我们要修改ax,包含ax的ci有哪些呢?
可以发现有c[x],c[x+two(x)],c[x+two(x)+two(t+two(x))], 以此类推。
不信自己举例,很神奇,对不对?
如果我们要求1~x的和。
按照c的定义,ans=c[x]+c[x-two[x]]+.... 以此类推。
如果我们要求l~r的和,可以先求1~r的和,再减去1~l-1的和。
就这些了吧。