AHP&AHM

一、引言

Saaty 在 1977 年提出了层次分析法 AHP，之后程乾生在 1997 年提出了属性层次模型 AHM，这两种方法都是为了解决无结构决策问题，运用 AHM 进行决策的步骤和 AHP 一样，大体可分为三步：

1. 建立递阶层次结构；
2. 构造判断矩阵并计算相对权；
3. 计算方案对系统目标的合成权，以进行决策。

层次分析法和属性层次模型的核心在第 2 步，区别也在第 2 步。本文将对比介绍两种方法的原理。

二、在准则 $C$C 下元素的两两比较和排序

2.1 重量模型 - 层次分析法

重量模型：设元素 $u_1,u_2,...,u_n$u1​,u2​,...,un​ 为 $n$n 个物体，它们的重量分别为 $g_1,g_2,...,g_n$g1​,g2​,...,gn​，我们不知道物体的重量，但知道两两之间的重量比 $a_{ij}=g_i/g_j$aij​=gi​/gj​，准则 $C$C 为重量。问题：已知 $a_{ij},(1\le{i,j}\le{n}),$aij​,(1≤i,j≤n), 在准则 $C$C 下对元素 $u_1,u_2,...,u_n$u1​,u2​,...,un​ 进行排序，即按重量大小对元素进行排序。

由上知，$a_{ij}$aij​ 满足
$a_{ij}>0$aij​>0

$a_{ij}=1/a_{ji}$aij​=1/aji​

$a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$aij​ajk​=aik​

满足 (1) 和 (2) 式的矩阵 $(a_{ij})$(aij​) 称为正互反矩阵。满足 (3) 的正互反矩阵称为具有一致性。记 $g=(g_1,g_2,...,g_n)^T$g=(g1​,g2​,...,gn​)T，$T$T 表示转置。易知 $(a_{ij})g=ng$(aij​)g=ng，可以验证，$n$n 和 $g$g 分别是矩阵 $(a_{ij})$(aij​) 的最大特征值和相应的特征向量。对 $g$g 归一化得 $w=(w_1,w_2,...,w_n)^T$w=(w1​,w2​,...,wn​)T， $w_i=g_i/\sum_{j=i}^{n}g_j$wi​=gi​/∑j=in​gj​，$w$w 为相对权向量，由 $w$w 可对元素按重量大小排序。

在 AHP 方法中，满足 (1) 和 (2) 的矩阵 $(a_{ij})$(aij​) 称为判断矩阵，求它的最大特征值和相应的特征向量，经一致性检验合格后，由最大特征向量归一化后得相对权向量，并由此可对元素排序。

2.2 球赛模型 - 属性层次模型

球赛模型：设元素 $u_1,u_2,...,u_n$u1​,u2​,...,un​ 为 $n$n 个球队，每两个球队进行 1 场比赛，每场比赛为 1 分。$u_i$ui​ 和 $u_j$uj​ 比赛 $(i\ne{j})$(i​=j)，$u_i$ui​ 得分 $\__{ij}$_ij​，$u_j$uj​ 得分 $\__{ji}$_ji​ 准侧 $C$C 为得分。问题：已知 $\__{ij},(1\le{i,j}\le{n})$_ij​,(1≤i,j≤n)，在准则 $C$C 下对元素进行排序，即按得分多少对元素排序。

由上知，$\__{ij}$_ij​ 满足
$\__{ij}\ge0,\ \__{ji}\ge0,\ \__{ij}+ \__{ji}=1,\ i\ne{j}$_ij​≥0, _ji​≥0, _ij​+_ji​=1, i​=j

$\__{ii}=0$_ii​=0

(5) 式表示球队 $u_i$ui​ 不能和自己比赛。在实际问题中，$\__{ij}$_ij​ 可在 $[0,1]$[0,1] 内取值。
满足 (4)、(5) 的 $\__{ij}$_ij​ 称为相对属性测度，矩阵 $(\__{ij})$(_ij​) 称为属性判断矩阵。如果 $\__{ij}>\__{ji}$_ij​>_ji​，则称 $u_i$ui​ 比 $u_j$uj​ 强，记为 $u_i>u_i$ui​>ui​，若属性判断矩阵 $(\__{ij})$(_ij​) 满足
$当\ u_i>u_j,\ u_j>u_k\ 时,有\ u_i>u_k$当 ui​>uj​, uj​>uk​ 时,有 ui​>uk​
则称 $(\__{ij})$(_ij​) 具有一致性。
$u_i$ui​ 的得分为 $f_i=\sum_{j=1}^n{\__{ij}}$fi​=∑j=1n​_ij​。由 (4)、(5) 可知 $\sum_{i=1}^nf_i=n(n-1)/2$∑i=1n​fi​=n(n−1)/2 记
$w_c=(w_{cu_1},...,w_{cu_n})^T,\ w_{cu_i}=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{j=1}^n\__{ij}$wc​=(wcu1​​,...,wcun​​)T, wcui​​=n(n−1)2​j=1∑n​_ij​
称 $w_0$w0​ 为相对属性权向量。以上讨论结果可用表 1 表示。
一种简单的一致性检验方法，是按 $w_c$wc​ 的排序对 $(\__{ij})$(_ij​) 逐行检验，如果通过，则表明 $(\__{ij})$(_ij​) 具有一致性。

表1 准则 $C$C 下元素 $u_i$ui​ 的相对属性测度和属 $\ \__{ij}$ _ij​ 性权 $\ w_{cu_i}$ wcui​​

2.3 注记

在现实生活中，确实存在着上述两种性质不同的模型。例如体育比赛就分成两类，一类如田径、游泳、跳水、体操、高尔夫球等等，每个运动员的成绩可以单独测量出来，一类如足球、篮球、排球、乒乓球、拳击、击剑等，每个球队或运动员的成绩只有通过两两比赛才能定出来。重量模型和球赛模型反映了这两类不同的比赛。

模型不同，处理的方法也不同。在 AHP 中要求矩阵的特征根和特征向量，在 AHM 中则不用，只需要做些加乘运算就行了。

三、判断矩阵和属性判断矩阵

在 AHP 中，判断矩阵 $(a_{ij})$(aij​) 中的元素 $a_{ij}$aij​ 由比例标度（由美国运筹学家 Saaty 提出的构造层次分析法判断矩阵的方法，如表 2 所示）给出。在准则 $C$C 下，$a_{ij}=1$aij​=1 表示 $u_{i}$ui​ 与 $u_j$uj​ 具有相等重要性，$a_{ij}=3$aij​=3 表示 $u_i$ui​ 比 $u_j$uj​ 稍强，$a_{ij}=5$aij​=5 表示 $u_i$ui​ 比 $u_j$uj​ 强，，$a_{ij}=7$aij​=7 表示 $u_i$ui​ 比 $u_j$uj​ 很强，，$a_{ij}=9$aij​=9 表示 $u_i$ui​ 比 $u_j$uj​ 极强。

在 AHM 中，属性判断矩阵 $(\__{ij})$(_ij​) 的元素可以由比例标度 $a_{ij}$aij​ 转换得到。一种比较好的转换公式为
$\__{ij}= \begin{cases} \frac{Uk}{Uk+1} & \text{$a_{ij}=k$}\\ 0.5 & \text{$a_{ij}=1\quad i\ne{j}$}\\ \frac{1}{Uk+1} & \text{$a_{ij}=\frac{1}{k}$} \end{cases}$_ij​=⎩⎪⎨⎪⎧​Uk+1Uk​0.5Uk+11​​aij​=kaij​=1i​=jaij​=k1​​
其中 $k$k 为大于 2 的正整数，$U\ge1$U≥1 ，通常取 $U=1$U=1 或 2，当 $U\to\infty$U→∞ 时，得到极端情况：当 $a_{ij}=k>1$aij​=k>1 时 $\__{ij}=1$_ij​=1 ，当 $a_{ij}=1$aij​=1 时 $\__{ij}=0.5$_ij​=0.5 ，当 $a_{ij}<1$aij​<1 时 $\__{ij}=0$_ij​=0 ，当然，$__{ij} $ 也可由其他方法确定。

参考文献

[1] 程乾生.层次分析法AHP和属性层次模型AHM[J].系统工程理论与实践,1997(11):26-29.
[2] 李廉水,王桂芝,黄小蓉,田心如.气象灾害评估分析的AHM方法研究[J].数理统计与管理,2011,30(02):201-205.