[初识行列式]行列式的三种定义

本文根据张宇讲解线性代数整理

1. 行列式的性质定义(第一定义)

此种定义行列式的方法直接给出了行列式的几何含义,由数学家柯西提出:
假设有行列式$|\begin{matrix} \alpha_{11} & \alpha_{12}\\ \alpha_{21} &\alpha_{22} \end{matrix}|$∣α11​α21​​α12​α22​​∣,我们把$(\alpha_{11},\alpha_{12})$(α11​,α12​)和$(\alpha_{21},\alpha_{22})$(α21​,α22​)分别看成二维向量,并将其在直角坐标系中表示出来:

求向量所围成的四边形面积$S=l*m*sin(\beta-\alpha)\\=l*m*(sin{\beta}cos{\alpha}-sin{\alpha}cos{\beta})\\=l*\cos{\alpha}*m*sin{\beta}-l*sin{\alpha}*m*cos{\beta}\\=\alpha_{11}*a_{22}-\alpha_{12}*\alpha_{21}$S=l∗m∗sin(β−α)=l∗m∗(sinβcosα−sinαcosβ)=l∗cosα∗m∗sinβ−l∗sinα∗m∗cosβ=α11​∗a22​−α12​∗α21​
所以行列式的结果就是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积

将上述结论做线性推广就可以得到行列式的第一定义:n阶行列式是由n维向量组成的,其结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积

2. 行列式的逆序数定义法

• 逆序:在一个n级排列$i_1,i_2.....i_n$i1​,i2​.....in​中,若$i_s>i_j$is​>ij​且$i_s$is​排在$i_j$ij​前面,则称这两个数构成一个逆序
• 逆序数:在一个排列中,逆序的总数称为该排列的逆序数,如$\tau(231456)=3$τ(231456)=3

n(n>=2)阶行列式:
$|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &……&a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &……&a_{2n}\\ ……&……&……&……\\ a_{n1}&a_{n2}&……&a_{nn} \end{matrix}|=\Sigma_{j_1,j_2....,j_n}(-1)^{\tau(j_1,j_2....,j_n)}a_{i1_1}a{2j_2}......a_{nj_n}$∣a11​a21​……an1​​a12​a22​……an2​​……………………​a1n​a2n​……ann​​∣=Σj1​,j2​....,jn​​(−1)τ(j1​,j2​....,jn​)ai11​​a2j2​......anjn​​

将上面这段翻译成人话主要是分成一下几个步骤:

1. $\Sigma_{j_1,j_2....,j_n}$Σj1​,j2​....,jn​​表示对所有n个列下表排列求和,共有$n!$n!项之和
2. 每一项分别取自不同行,不同列的n个元素的乘积构成
3. 要先按照行下标顺排,再看列下标有几个逆序数,决定正负号

我们经常用的画图法就是属于用第二定义来求解,可见一般用其解决2阶或者3阶问题比较方便,大于3阶的则需要接下来的第三定义.

3. 行列式的展开定理(第三定义)

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相对应的代数余子式后再求和,其核心思想是降阶.