本章小结

  让我们假设观测服从$D$D维空间的某个未知的概率密度分布$p(x)$p(x)。把这个$D$D维空间选择成欧⼏⾥得空间，考虑包含$x$x的某个⼩区域$R$R，则这个区域的概率质量为

假设收集了服从$p(x)$p(x)分布的$N$N次观测，很容易得出位于区域$R$R内部的数据点总数$K$K满足

如果假定区域$R$R⾜够⼩，使得在这个区域内的概率密度$p(x)$p(x)⼤致为常数，那么有

其中$V$V是区域$R$R的体积。把公式（2.244）和公式（2.245）结合，得到概率密度的估计为

  有两种⽅式利⽤（2.246）的结果。可以固定$K$K然后从数据中确定$V$V 的值，这就是$K$K近邻⽅法。还可以固定$V$V然后从数据中确定$K$K，这就是核⽅法。在极限$N\rightarrow\infty$N→∞的情况下，如果$V$V随着$N$N⽽合适地收缩，那么可以证明$K$K近邻概率密度估计会收敛到真实的概率密度。同样的，在极限$N\rightarrow\infty$N→∞的情况下，如果$K$K随着$N$N增⼤，那么可以证明核⽅法概率密度估计也会收敛到真实的概率密度。

  先详细讨论核⽅法。把区域$R$R取成以$\textbf{x}$x为中⼼的⼩超⽴⽅体，定义下⾯的函数

这表⽰⼀个以原点为中⼼的单位⽴⽅体。函数$k(u)$k(u)是核函数的⼀个例⼦，在这个问题中也被称为Parzen窗。如果数据点$x_n$xn​位于以$x$x为中⼼的边长为$h$h的⽴⽅体中，那么量$k(\frac{x-x_n}{h})$k(hx−xn​​)的值等于1，否则它的值为0。于是，位于这个⽴⽅体内的数据点的总数为

把这个表达式代⼊公式（2.246），得

  核密度估计（2.249）有⼀个问题，就是⼈为带来的⾮连续性，是由⽴⽅体的边界引起得。如果我们选择⼀个平滑的核函数，就可以得到⼀个更加光滑的模型，⼀个常见的选择是⾼斯核函数，于是可得

公式2.250中的概率密度模型可以通过这种⽅式获得：令每个数据点$\textbf{x}$x都服从⾼斯分布，然后把数据集⾥的每个数据点的贡献相加，之后除以$N$N，使得概率密度正确地被归⼀化。在图2.25中，我们把模型（公式2.250）应⽤于之前⽤来说明直⽅图⽅法的数据集上。我们看到，参数$h$h对平滑参数起着重要的作⽤。⼩的$h$h会造成模型对噪声过于敏感，⽽⼤的$h$h会造成过度平滑，因此要进⾏⼀个折中。与之前⼀样，对$h$h的优化是⼀个模型复杂度的问题，类似于直⽅图概率密度估计中对于箱⼦宽度的选择，也类似于曲线拟合问题中的多项式阶数。

我们可以任意选择公式（2.249）中的核函数，只要满⾜下⾯的条件

  这确保了最终求得的概率分布在处处都是⾮负的，并且积分等于1。公式（2.249）给出的概率密度模型被称为核密度估计，或者Parzen估计。它有⼀个很⼤的优点，即不需要进⾏“训练”阶段的计算，因为“训练”阶段只需要存储训练集即可。然⽽，这也是⼀个巨⼤的缺点，因为估计概率密度的计算代价随着数据集的规模线性增长。

互动话题

• 2.5节曾经提到，与简单的直⽅图⽅法相⽐，核密度方法对于维度的放⼤有着更好的适应性。如何理解？
  如果核函数选的是公式2.247，依然没有彻底解决维度灾难，公式2.250的高斯平滑核函数倒是更多的缓解了维度灾难。