协同过滤简单来说是利用某兴趣相投、拥有共同经验之群体的喜好来推荐用户感兴趣的信息。具体的又分为基于用户的协同过滤（User Collaboration Filter）和基于商品的协同过滤（Item Collaboration Filter）

基于用户的协同过滤(UserCF)

基本思想

基于用户的协同过滤推荐的基本原理是，根据所有用户对物品的偏好，发现与当前用户口味和偏好相似的‘“邻居” 用户群，并推荐近邻所偏好的物品。

在一般的应用中是采用计算“K近邻”的算法;基于这K个邻居的历史偏好信息，为当前用户进行推荐。

如下图所示：

用户c喜欢物品喜欢物品ACD，用户a喜欢物品喜欢物品AC，通过算法计算发现也用户a与用户c十分相似，于是猜测用户a也喜欢物品D，于是将D物品推送给用户a。

例子

（1）基本数据：假设用户对电影的评分情况如下，称之为评分矩阵：

用户/电影	电影1	电影2	电影3	电影4	电影5	电影6
A	1		5	3
B		3			3
C	5					10
D	10				5
E			5	1
F		5	3			1

（2）根据评分矩阵计算用户相似度

我们采用最常见的余弦相似度进行计算相似度，设多维向量$\hat a = (a_1,a_2,a_3,a_4……)，\hat b = (b_1,b_2,b_3,b_4……)$a^=(a1​,a2​,a3​,a4​……)，b^=(b1​,b2​,b3​,b4​……)，则其余弦相似度为：
$cos<\hat a, \hat b > = \frac{a_1b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots a_n^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \ldots b_n^2}}$cos<a^,b^>=a12​+a22​+…an2​​b12​+b22​+…bn2​​a1​b1​+a2​b2​+…+an​bn​​
根据这个公式，可以计算出用户A 用户C，用户A、用户B 之间的相似度为：
$cos<A,C> = 0.08 \\ cos<A,B> = 0$cos<A,C>=0.08cos<A,B>=0
计算所有的用户之间的相似度，进而得到用户相似度矩阵：

	A	B	C	D	E	F
A	1	0	0.08	0.15	0.93	0.43
B	0	1	0	0.32	0	0.6
C	0.08	0	1	0.4	0	0.15
D	0.15	0.32	0.4	1	0	0
E	0.93	0	0	0	1	0.5
F	0.43	0.6	0.15	0	0.5	1

（3）根据评分矩阵、用户相似度矩阵得到推荐列表（推荐未看过的电影）

UserCF算法会基于评分矩阵、用户相似度矩阵给用户推荐和他兴趣最相似的K个用户喜欢的物品。如下的公式度量了UserCF算法中用户$u$u对物品$i$i的感兴趣程度：
$p(u,i) = \sum_{v\in{S(u,K)\cap N(i)}} w_{uv}r_{vi}$p(u,i)=v∈S(u,K)∩N(i)∑​wuv​rvi​
其中，S(u,K) 为和用户 u 兴趣最接近的 K 个用户， N( i ) 为对物品 i 有过行为的用户集合， $w_{uv}$wuv​ 为用户 u 和用户 v 的兴趣相似度， $r_{vi}$rvi​为用户 v 对物品 i 的兴趣。

在电影推荐例子中，假设我们要给用户A推荐电影，我们首先找到$K$K个与用户A相似，并且对电影$i$i 评分的 用户集合$v$v。然后对这些用户集合中的每一个用户$v$v 进行如下计算： ( 用户 u 和相似用户 v 的相似程度$w_{uv}$wuv​ ) X ( 用户 v 对商品 i 的喜爱程度 r_{vi} ) 然后将乘积结果累加作为 u 对 i 的感兴趣程度。

如：我们要确定用户A对电影2的兴趣程度，先确定$v=\{B,F\}$v={B,F}，所以：
$p(A,电影2) = w_{AB}r_{B电影2} + w_{AF}r_{F电影2} = 0*3 + 0.43*5 = 2.15$p(A,电影2)=wAB​rB电影2​+wAF​rF电影2​=0∗3+0.43∗5=2.15
不难发现，其数值就等于 相似度矩阵的第A行 与 评分矩阵第 电影2 列 内积的结果。

推广一下，用户u对物品i的评分数值就等于 相似度矩阵的第u行 与 评分矩阵第 i 列 内积的结果。

所以，推荐列表 = 相似度矩阵 X 评分矩阵

用户/电影	电影1	电影2	电影3	电影4	电影5	电影6
A	2.9	2.2	11.0	3.9	0.8	1.2
B	3.2	6.0	1.8	0	4.6	0.6
C	9.1	0.8	0.9	0.2	2.0	10.2
D	11.2	1.0	0.8	0.5	6.0	4.0
E	0.9	2.5	11.2	3.8	0	0.5
F	1.2	6.8	7.7	1.8	1.8	2.5

由于用户已经对电影中的一些商品有过行为，所以还要把这些电影给滤除掉。

得到最终的推荐列表：

	1	2	3	4	5	6
A		2.2			0.8	1.2
B	3.2		1.8	0		0.6
C		0.8	0.9	0.2	2.0
D		1.0	0.8	0.5		4.0
E	0.9	2.5			0	0.5
F	1.2			1.8	1.8

其数值代表的意义是用户对电影的感兴趣程度。

UserCF 改进

对于一些热门的商品例如《新华字典》，许多用户都可能会有购买行为，但是不能说明买过这本书的兴趣就相同。但是都买了相对冷门点的《统计学习方法》的人，就很可能有相似的兴趣。

为了改进这个问题，假设 N(i) 为喜欢物品 i 的用户数，则可以改用下面的公式计算相似度：
$w_{uv} = \frac{\sum_{i\in{N(u)\cap N(v)}} \frac{1}{\log(1+|N(i)|)}}{\sqrt{|N(u)||N(v)|}}$wuv​=∣N(u)∣∣N(v)∣​∑i∈N(u)∩N(v)​log(1+∣N(i)∣)1​​
上面的式子中 $\frac{1}{\log(1+|N(i)|)}$log(1+∣N(i)∣)1​ 惩罚了用户 u 和用户 v 共同兴趣列表中热门物品对他们相似度的影响。

基于物品的协同过滤(ItemCF)

基本思想

基于物品的协同过滤推荐的基本原理与基于用户的类似，只是使用所有用户
对物品的偏好，发现物品和物品之间的相似度，然后根据用户的历史偏好信息，将类似的物品推荐给用户。

如下图所示：

用户c喜欢物品喜欢物品A，通过算法计算发现物品A与物品C十分相似，于是猜测用户c也喜欢物品C，于是将C物品推送给用户c。

例子

计算过程与UserCF非常相似，区别在于计算时把UserCF的评分矩阵转置：

电影/用户	A	B	C	D	E	F
电影1	1		5	10
电影2		3				5
电影3	5				5	3
电影4	3				1
电影5		3		5
电影6			10

再计算商品与商品之间的相似度得到商品之间的相似度矩阵。

最后的推荐列表 = 商品之间的相似度矩阵 X 评分矩阵转置

ItemCF 改进

由于活跃用户可能会广泛的购买各种类别商品，因此对物品相似度的贡献要小于不活跃用户。本节计算相似度的方法同样可以改用下面的方法：
$w_{ij} = \frac{\sum_{u \in N(i) \bigcap N(j)}\frac{1}{\log{1}+|N(u)|}}{\sqrt{|N(i)||N(j)|}}$wij​=∣N(i)∣∣N(j)∣​∑u∈N(i)⋂N(j)​log1+∣N(u)∣1​​
这个公式只是对活跃用户做的一种软性惩罚，但对于很多过于活跃的用户，在实际计算中一般直接忽略他的兴趣列表，而不将其纳入到相似度计算的数据集中。

归一化

如果将 ItemCF 的相似度矩阵按最大值归一化，可以提高推荐的准确率。如果已经得到了物品相似度矩阵 w ，那么可以用如下公式得到归一化之后的相似度矩阵 w’ ：
$w_{ij}' = \frac{w_{ij}}{\max\limits_i w_{ij}}$wij′​=imax​wij​wij​​
归一化的好处不仅仅在于增加推荐的准确度，它还可以提高推荐的覆盖率和多样性。

UserCF 与 ItemCF 对比

同样是协同过滤，在基于用户和基于项目两个策略中应该如何选择呢?

在实际应用中，存在两种情况：（1） 电商、电影、音乐网站，用户数量远大于物品数量。（2）新闻网站，物品(新闻文本)数量可能大于用户数量。

角度	ltem-CF	User-CF
应用场景	物品的个数是远远小于用户的数量的，而且物品的个数和相似度相对比较稳定。适用于非社交推荐	物品的个数大于用户的个数，且物品的更新程度很快，相似度依然不稳定。适用与社交推荐
精确度	发现长尾物品，精度就会小于UserCF	精度高与Item_CF
系统多样性	多样性推荐较强	多样性推荐较弱
推荐偏好	UserCF注重社会化	ItemCF注重个性化

参考文献：
推荐系统（一）】协同过滤之基于领域的方法(UserCF，ItemCF)
推荐系统UserCF和ItemCF