机器怎样可以学得更好?
本系列是*大学资讯工程系林軒田(Hsuan-Tien Lin)教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理,而非详细的笔记,因此可能会略去一些细节。
该课程共16讲,分为4个部分:
- 机器什么时候能够学习?(When Can Machines Learn?)
- 机器为什么能够学习?(Why Can Machines Learn?)
- 机器怎样学习?(How Can Machines Learn?)
- 机器怎样可以学得更好?(How Can Machines Learn Better?)
本文是第4部分,对应原课程中的13-16讲。
本部分的主要内容:
- 过拟合问题,过拟合与噪声、目标函数复杂度的关系;
- 正则化,正则化与VC理论的联系;
- 验证,留一交叉验证和V-折交叉验证;
- 三个学习原则,即奥卡姆剃刀、抽样偏差和数据窥探。
1 过拟合问题
1.1 过拟合的发生
假设现在用带很小噪声的2次多项式生成了5个样本,对于这5个样本,其实用4次多项式就可以完美拟合它:
这样做可使 E in = 0 E_\text{in}=0 Ein=0,但 E out E_\text{out} Eout却会非常大。
如果出现 E in E_\text{in} Ein很小, E out E_\text{out} Eout很大的情况,就是出现了不好的泛化(bad generalization)。如果在训练的过程中, E in E_\text{in} Ein越来越小, E out E_\text{out} Eout越来越大,就称为过拟合(overfitting)。
噪声和数据规模都会影响过拟合。先来看以下两个数据集:
- 数据由10次多项式生成,有一些噪声;
- 数据由50次多项式生成,无噪声。
数据集图像如下:
如果我们用2次和10次多项式分别拟合以上两个数据集,那么在从 g 2 ∈ H 2 g_2 \in \mathcal{H}_2 g2∈H2到 g 10 ∈ H 10 g_{10} \in \mathcal{H}_{10} g10∈H10的过程中,会发生过拟合吗?
拟合结果如下:
比较后发现,在两个数据集中,都发生了过拟合!
来看学习曲线,当 N → ∞ N\to \infty N→∞时显然 H 10 \mathcal{H}_{10} H10会有更小的 E o u t ‾ \overline{E_{out}} Eout,但 N N N较小时它会有很大的泛化误差。灰色区域就是过拟合发生的区域。
其实对于由无噪声的50次多项式生成的数据,“目标函数的复杂度”本身就可以看作类似的噪声。
接下来做个更细节的实验。用
y
=
f
(
x
)
+
ϵ
∼
Gaussian
(
∑
q
=
0
Q
f
α
q
x
q
,
σ
2
)
\begin{aligned} y &= f(x) + \epsilon\\ &\sim \text{Gaussian}\left(\sum_{q=0}^{Q_f} \alpha_q x^q, \sigma^2 \right) \end{aligned}
y=f(x)+ϵ∼Gaussian⎝⎛q=0∑Qfαqxq,σ2⎠⎞
生成
N
N
N个数据,其中
ϵ
\epsilon
ϵ是独立同分布的高斯噪声,噪声水平为
σ
2
\sigma^2
σ2,
f
(
x
)
f(x)
f(x)关于复杂度水平
Q
f
Q_f
Qf是均匀分布的。也就是说,目标函数有
Q
f
Q_f
Qf和
σ
2
\sigma^2
σ2两个变量。
然后,分别固定 Q f = 20 Q_f=20 Qf=20和 σ 2 = 0.1 \sigma^2=0.1 σ2=0.1,还是分别用2次和10次多项式拟合数据,并用 E out ( g 10 ) − E out ( g 2 ) E_\text{out}(g_{10})-E_\text{out}(g_{2}) Eout(g10)−Eout(g2)度量过拟合水平。结果如下:
颜色偏红的区域,就是发生了过拟合。
加上去的 σ 2 \sigma^2 σ2高斯噪声可称为stochastic noise,而目标函数的次数 Q f Q_f Qf也有类似噪声的影响,因此可叫deterministic noise。
如果 f ∉ H f\notin \mathcal{H} f∈/H,那么 f f f一定有某些部分就无法被 H \mathcal{H} H所捕捉到,最好的 h ∗ ∈ H h^*\in\mathcal{H} h∗∈H与 f f f的差就是deterministic noise,它的表现与随机噪声没什么不一样(与伪随机数生成器类似)。它与stochastic noise的不同之处在于,它与 H \mathcal{H} H有关,且对于每个 x x x,它的值是确定的:
1.2 过拟合的处理
一般来说,处理过拟合的思路有以下几种:
- 从简单的模型开始;
- 数据清洗(data cleaning),将错误的数据修正(如更正它的标签类别);
- 数据剪枝(data pruning),删去离群点(outlier);
- data hinting,当样本量不够时,可以对现有样本做些简单的处理,增加样本量,如在数字分类中,可以将数据微微旋转或平移而不改变它们的标签,这样就可增大样本量;
- 正则化(regularization),见下节;
- 验证(validation),见后文。
2 正则化(regularization)
2.1 正则化
正则化的思想是好比从 H 10 \mathcal{H}_{10} H10“逐步回退”到 H 2 \mathcal{H}_{2} H2。这个名字的由来是在早期做函数逼近(function approximation)时,有很多问题是ill-posed problems,即有很多函数都是满足问题的解,所以要加入一些限制条件。从某种意义上说,机器学习中的过拟合也是“正确的解太多”的问题。
H
10
\mathcal{H}_{10}
H10中假设的一般形式为
w
0
+
w
1
x
+
w
2
x
2
+
w
3
x
3
+
⋯
+
w
10
x
10
w_0+w_1 x+w_2 x^2+w_3 x^3+\cdots+w_{10} x^{10}
w0+w1x+w2x2+w3x3+⋯+w10x10
而
H
2
\mathcal{H}_{2}
H2中假设的一般形式为
w
0
+
w
1
x
+
w
2
x
2
w_0+w_1 x+w_2 x^2
w0+w1x+w2x2
其实只要限制
w
3
=
w
4
=
⋯
=
w
10
=
0
w_3=w_4=\cdots=w_{10}=0
w3=w4=⋯=w10=0,就会有
H
10
=
H
2
\mathcal{H}_{10}=\mathcal{H}_{2}
H10=H2。如果在用
H
10
\mathcal{H}_{10}
H10时加上这个限制,其实就是在用
H
2
\mathcal{H}_2
H2做机器学习。
H 2 \mathcal{H}_2 H2的灵活性有限,但 H 10 \mathcal{H}_{10} H10又很危险,那有没有折中一些的假设集呢?不妨把这个条件放松一些,变成 ∑ q = 0 10 1 [ w 1 ≠ 0 ] ≤ 3 \sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3 q=0∑101[w1=0]≤3,记在该限制下的假设集为 H 2 ′ \mathcal{H}_2' H2′,有 H 2 ⊂ H 2 ′ ⊂ H 10 \mathcal{H}_{2}\subset \mathcal{H}_{2}' \subset \mathcal{H}_{10} H2⊂H2′⊂H10,即它比 H 2 \mathcal{H}_{2} H2更灵活,但又没有 H 10 \mathcal{H}_{10} H10那么危险。
在
H
2
′
\mathcal{H}_{2}'
H2′下,求解的问题转化成了
min
w
∈
R
10
+
1
E
in
(
w
)
s.t.
∑
q
=
0
10
1
[
w
1
≠
0
]
≤
3
\min\limits_{\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{10+1}} E_\text{in}(\mathbf{w})\quad \text{s.t. } \sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3
w∈R10+1minEin(w)s.t. q=0∑101[w1=0]≤3
这是个NP-hard问题,复杂度很高。不如再将它变为
min
w
∈
R
10
+
1
E
in
(
w
)
s.t.
∑
q
=
0
10
w
q
2
≤
C
\min\limits_{\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{10+1}} E_\text{in}(\mathbf{w})\quad \text{s.t. } \sum\limits_{q=0}^{10}w^2_q \le C
w∈R10+1minEin(w)s.t. q=0∑10wq2≤C
记该假设集为
H
(
C
)
\mathcal{H}(C)
H(C),它与
H
2
′
\mathcal{H}_2'
H2′是有部分重叠的,并且对于
C
C
C有软的、光滑的结构:
H
0
⊂
H
1
⊂
⋯
⊂
H
∞
=
H
10
\mathcal{H}_{0} \subset \mathcal{H}_{1} \subset \cdots \subset \mathcal{H}_{\infty} =\mathcal{H}_{10}
H0⊂H1⊂⋯⊂H∞=H10
记在
H
(
C
)
\mathcal{H}(C)
H(C)下找到的最优解为
w
REG
\mathbf{w}_\text{REG}
wREG。
在没有正则化时,用梯度下降更新参数的方向是 − ∇ E in ( w ) -\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}) −∇Ein(w)。而在加入了正则化 w T w ≤ C \mathbf{w}^T \mathbf{w}\le C wTw≤C的限制时,必须在该限制下更新,如下图:
w
T
w
=
C
\mathbf{w}^T \mathbf{w}= C
wTw=C的法向量(normal vector)就是
w
\mathbf{w}
w,从图中可知,只要
−
∇
E
in
(
w
)
-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})
−∇Ein(w)和
w
\mathbf{w}
w不平行,就可继续在该限制下降低
E
in
(
w
)
E_\text{in}(\mathbf{w})
Ein(w),因此,达到最优解时,一定有
−
∇
E
in
(
w
)
∝
w
REG
-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}) \propto \mathbf{w}_\text{REG}
−∇Ein(w)∝wREG
由此,问题可以转化为求解
∇
E
in
(
w
REG
)
+
2
λ
N
w
REG
=
0
\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_\text{REG}) +\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0
∇Ein(wREG)+N2λwREG=0
其中
λ
\lambda
λ是引入的拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)。假设已知
λ
>
0
\lambda>0
λ>0,只需要把梯度的式子写出来,即有:
2
N
(
X
T
X
w
REG
−
X
T
y
)
+
2
λ
N
w
REG
=
0
\dfrac{2}{N}(X^T X\mathbf{w}_\text{REG}-X^T \mathbf{y})+\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0
N2(XTXwREG−XTy)+N2λwREG=0
直接求解即可得
w
REG
←
(
X
T
X
+
λ
I
)
−
1
X
T
y
\mathbf{w}_\text{REG}\leftarrow (X^T X+\lambda I)^{-1} X^T\mathbf{y}
wREG←(XTX+λI)−1XTy
只要
λ
>
0
\lambda>0
λ>0,
X
T
X
+
λ
I
X^T X+\lambda I
XTX+λI就是正定矩阵,它一定可逆。
在统计学中,这通常叫岭回归(ridge regression)。
换一种视角来看,求解
∇
E
in
(
w
REG
)
+
2
λ
N
w
REG
=
0
\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_\text{REG}) +\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0
∇Ein(wREG)+N2λwREG=0
就等价于求解(相当于对上式两边取积分)
min
w
E
in
(
w
)
+
λ
N
w
T
w
\min\limits_{\mathbf{w}} E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}
wminEin(w)+NλwTw
w
T
w
\mathbf{w}^T\mathbf{w}
wTw可叫regularizer,整个
E
in
(
w
)
+
λ
N
w
T
w
E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}
Ein(w)+NλwTw可叫作augmented error
E
aug
(
w
)
E_\text{aug}(\mathbf{w})
Eaug(w)。
这样,原本是给定 C C C后解一个条件最值问题,现在转化成了一个给定 λ \lambda λ的无条件最值问题。
可将 + λ N w T w +\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w} +NλwTw称为weight-decay regulariztion,因为更大的 λ \lambda λ,就相当于让 w \mathbf{w} w更短一些,也相当于 C C C更小一点。
一个小细节:在做特征变换时,如果用 Φ ( x ) = ( 1 , x , x 2 , … , x Q ) \Phi(\mathbf{x})=(1,x,x^2,\ldots,x^Q) Φ(x)=(1,x,x2,…,xQ),假设 x n ∈ [ − 1 , + 1 ] x_n \in [-1,+1] xn∈[−1,+1],那么 x n q x^q_n xnq会非常小,这一项本来就需要很大的 w q w_q wq才能起到作用,如果此时再用正则化,就对高维的系数有些“过度惩罚”了,因为它本来就要比较大才行。因此,可在多项式的空间中找出一些正交的基函数(orthonormal basis function),这是一些比较特别的多项式,叫勒让德多项式(Legendre Polynomials),再用这些多项式这样做特征变换 ( 1 , L 1 ( x ) , L 2 ( x ) , … , L Q ( x ) ) (1,L_1(x),L_2(x),\ldots,L_Q(x)) (1,L1(x),L2(x),…,LQ(x))即可。前5个勒让德多项式如下图:
2.2 正则化与VC理论
在最小化augmented error的时候,尽管它与带约束最值问题是等价的,但在计算时,其实并没有真正的将 w \mathbf{w} w限制在 H ( C ) \mathcal{H}(C) H(C)中。那么正则化究竟是怎么发生的?
可以从另一个角度看augmented error:
E
aug
(
w
)
=
E
in
(
w
)
+
λ
N
w
T
w
E_\text{aug}(\mathbf{w})=E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}
Eaug(w)=Ein(w)+NλwTw
若记
w
T
w
\mathbf{w}^T\mathbf{w}
wTw为
Ω
(
w
)
\Omega(\mathbf{w})
Ω(w),它度量的是某个假设
w
\mathbf{w}
w的复杂度。而在VC Bound中
E
out
(
w
)
≤
E
in
(
w
)
+
Ω
(
H
)
E_\text{out}(\mathbf{w})\le E_\text{in}(\mathbf{w})+\Omega(\mathcal{H})
Eout(w)≤Ein(w)+Ω(H)
Ω
(
H
)
\Omega(\mathcal{H})
Ω(H)度量的是整个
H
\mathcal{H}
H的复杂度。如果
λ
N
Ω
(
w
)
\dfrac{\lambda}{N}\Omega(\mathbf{w})
NλΩ(w)与
Ω
(
H
)
\Omega(\mathcal{H})
Ω(H)有某种关联,
E
aug
E_\text{aug}
Eaug就可以直接作为
E
out
E_\text{out}
Eout的代理,不需要再通过做好
E
in
E_\text{in}
Ein来做好
E
out
E_\text{out}
Eout,而同时,又可以享受整个
H
\mathcal{H}
H的高度灵活性。
再换个角度,原本对于整个 H \mathcal{H} H有 d VC ( H ) = d ~ + 1 d_\text{VC}(\mathcal{H})=\tilde{d}+1 dVC(H)=d~+1,而现在相当于只考虑 H ( C ) \mathcal{H}(C) H(C)中的假设,也就是说VC维变成了 d VC ( H ( C ) ) d_\text{VC}(\mathcal{H}(C)) dVC(H(C))。可以定义一个“有效VC维” d EFF ( H , A ) d_\text{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A}) dEFF(H,A),只要 A \mathcal{A} A中做了正则化,有效VC维就会比较小。
2.3 更一般的正则项
有没有更一般的正则项 Ω ( w ) \Omega(\mathbf{w}) Ω(w)?该如何选择呢?有以下建议:
- 与目标有关(target-dependent),如果知道目标函数的一些性质,就可以写出来,比如我们预先知道目标函数是接近于偶函数的,那就可以选取 ∑ 1 [ q is odd ] w q 2 \sum \mathbf{1}_{[q \text{ is odd}]} w^2_q ∑1[q is odd]wq2;
- 合理的(plausible),可以选平滑的或简单的,如为了稀疏性而选L1正则项 ∑ ∣ w q ∣ \sum\vert w_q \vert ∑∣wq∣,下文会说明;
- 友好的(friendly),即容易优化,如L2正则项 ∑ w q 2 \sum w_q^2 ∑wq2;
- 就算选的正则项不好,也没有关系,因为可以靠 λ \lambda λ来调节,最差也就是相当于没有加入正则项。
L1正则项如下图:
它是凸的,但不是处处可微,加入它之后,解具有稀疏性。如果在实际中需要有稀疏解,L1就会很有用。
λ \lambda λ要怎么选呢?可根据 E out E_\text{out} Eout的情况选出的最优 λ \lambda λ,示例如下(加粗点为最优 λ \lambda λ):
从图中可以看到,噪声越大,越需要增加regularization。
但一般情况下,噪声是未知的,该如何选择合适的 λ \lambda λ?
3 验证(Validation)
3.1 验证集
λ
\lambda
λ该如何选择?我们完全不知道
E
out
E_\text{out}
Eout,并且也不能直接通过
E
in
E_\text{in}
Ein做选择。如果有一个从来没被使用过的测试集就好了,这样就可以根据测试集进行选择:
m
∗
=
arg
min
1
≤
m
≤
M
(
E
m
=
E
test
(
A
m
(
D
)
)
)
m^*=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M} \left( E_m=E_\text{test}(\mathcal{A}_m(\mathcal{D})) \right)
m∗=1≤m≤Margmin(Em=Etest(Am(D)))
并且,这样做是有泛化保证的(Hoeffding):
E
out
(
g
m
∗
)
≤
E
test
(
g
m
∗
)
+
O
(
log
M
N
test
)
E_\text{out}(g_{m^*})\le E_\text{test}(g_{m^*})+O(\sqrt{\dfrac{\log M}{N_\text{test}}})
Eout(gm∗)≤Etest(gm∗)+O(NtestlogM
)
但哪里有真正测试集?只能折中地从
D
\mathcal{D}
D划分出一部分数据作为验证集
D
val
⊂
D
\mathcal{D}_\text{val}\subset \mathcal{D}
Dval⊂D了,当然,也要求它是在过去从未被
A
m
\mathcal{A}_m
Am使用过的。
划分验证集 D val \mathcal{D}_\text{val} Dval的过程如下:
用训练集得到的
g
m
−
g^-_m
gm−,也可以有泛化保证:
E
out
(
g
m
−
)
≤
E
val
(
g
m
−
)
+
O
(
log
M
K
)
E_\text{out}(g_m^-)\le E_\text{val}(g_m^-)+O(\sqrt{\dfrac{\log M}{K}})
Eout(gm−)≤Eval(gm−)+O(KlogM
)
做验证时的一般流程如下:
可以看到,在用验证集选出最好的模型 g m ∗ − g^-_{m^*} gm∗−后,还是要用所有的数据再训练一个最好的模型 g m ∗ g_{m^*} gm∗出来,一般来说这次训练得到的 g m ∗ g_m^* gm∗会由于训练数据量的更大而有更低的 E out E_\text{out} Eout,见下图:
图中最下面的虚线为 E out E_\text{out} Eout。可以看到, K K K不能过大或过小,如果 K K K过小,虽然 g m − ≈ g m g_m^-\approx g_m gm−≈gm,但 E val E_\text{val} Eval和 E out E_\text{out} Eout会差别很大,而如果 K K K过大,尽管 E val ≈ E out E_\text{val}\approx E_\text{out} Eval≈Eout,但会使 g m − g_m^- gm−比 g m g_m gm差很多。
我们真正想要做到的是
E out ( g ) ≈ E out ( g − ) ≈ E val ( g − ) E_\text{out}(g)\approx E_\text{out}(g^-)\approx E_\text{val}(g^-) Eout(g)≈Eout(g−)≈Eval(g−)
第一个约等号要求 K K K较小,第二个约等号要求 K K K较大,因此必须选一个合适的 K K K,按经验法则可选 K = N 5 K=\dfrac{N}{5} K=5N。
3.2 留一交叉验证(LOOCV)
如果让
K
=
1
K=1
K=1,即只留一个样本
n
n
n作为验证集,记
E
val
(
n
)
(
g
n
−
)
=
err
(
g
n
−
(
x
n
)
,
y
n
)
=
e
n
E_\text{val}^{(n)}(g_n^-)=\text{err}(g_n^-(\mathbf{x}_n),y_n)=e_n
Eval(n)(gn−)=err(gn−(xn),yn)=en
但单个
e
n
e_n
en无法告诉我们准确的信息,要想办法对所有可能的
E
val
(
n
)
(
g
n
−
)
E_\text{val}^{(n)}(g_n^-)
Eval(n)(gn−)取平均。可以用留一交叉验证(Leave-One-Out Cross Validation):
E
loocv
(
H
,
A
)
=
1
N
∑
n
=
1
N
e
n
=
1
N
∑
n
=
1
N
err
(
g
n
−
(
x
n
)
,
y
n
)
E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} e_n=\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \text{err}(g_n^- (\mathbf{x}_n),y_n)
Eloocv(H,A)=N1n=1∑Nen=N1n=1∑Nerr(gn−(xn),yn)
我们希望的是有
E
loocv
(
H
,
A
)
≈
E
out
(
g
)
E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})\approx E_\text{out}(g)
Eloocv(H,A)≈Eout(g)。可作证明:
E
D
E
loovc
(
H
,
A
)
=
E
D
1
N
∑
n
=
1
N
e
n
=
1
N
∑
n
=
1
N
E
D
e
n
=
1
N
∑
n
=
1
N
E
D
n
E
(
x
n
,
y
n
)
err
(
g
n
−
(
x
n
)
,
y
n
)
=
1
N
∑
n
=
1
N
E
D
n
E
out
(
g
n
−
)
=
1
N
∑
n
=
1
N
E
out
‾
(
N
−
1
)
=
E
out
‾
(
N
−
1
)
\begin{aligned} &\mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}} E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A})\\ =& \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}}\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} e_n\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}} e_n\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}_n} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{(\mathbf{x}_n,y_n)} \text{err}(g_n^-(\mathbf{x}_n),y_n)\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}_n} E_\text{out}(g_n^-)\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \overline{E_\text{out}}(N-1)\\ =& \overline{E_\text{out}}(N-1) \end{aligned}
======DEEloovc(H,A)DEN1n=1∑NenN1n=1∑NDEenN1n=1∑NDnE(xn,yn)Eerr(gn−(xn),yn)N1n=1∑NDnEEout(gn−)N1n=1∑NEout(N−1)Eout(N−1)
由于 E loovc ( H , A ) E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A}) Eloovc(H,A)的期望会告诉我们一些关于 E out ( g − ) E_\text{out}(g^-) Eout(g−)的期望的信息,因此也叫作 E out ( g ) E_\text{out}(g) Eout(g)的“几乎无偏估计”(almost unbiased estimate)。
用手写数字识别——对数字是否为1进行分类——看看效果,两个基础特征为对称性和平均强度(average intensity),对它们进行特征变换(增加特征数量),再分别用 E in E_\text{in} Ein和 E loocv E_\text{loocv} Eloocv进行参数选择(参数是变换后的特征个数),结果如下:
如果将 E out E_\text{out} Eout、 E in E_\text{in} Ein、 E loocv E_\text{loocv} Eloocv分别随特征数变化而变化的情况画出来,如图:
3.3 V V V-折交叉验证
如果有1000个点,做留一交叉验证就要计算1000次 e n e_n en,每次计算还要用999个样本做训练,除了少数算法(如线性回归,它有解析解),在大多数情况下会非常耗时间。另一方面,由上一节最后可看到,由于 E loocv E_\text{loocv} Eloocv是在单个点上做平均,结果会有跳动,不够稳定。因此,在实际中,loocv并不是很常用。
在实际中,更常用的是 V V V折交叉验证( V V V-Fold Cross Validation),即将 D \mathcal{D} D随机分为 V V V等分,轮流用每一份做验证,用剩下的 V − 1 V-1 V−1份做训练,在实际中一般常取 V = 10 V=10 V=10,如下图:
这样能计算出
E
cv
(
H
,
A
)
=
1
V
∑
v
=
1
V
E
val
(
v
)
(
g
v
−
)
E_\text{cv}(\mathcal{H}, \mathcal{A})=\dfrac{1}{V}\sum\limits_{v=1}^{V} E_\text{val}^{(v)}(g_v^-)
Ecv(H,A)=V1v=1∑VEval(v)(gv−)
再用它对参数做选择:
m
∗
=
arg
min
1
≤
m
≤
M
(
E
m
=
E
cv
(
H
m
,
A
m
)
)
m^*=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M} \left( E_m=E_\text{cv}(\mathcal{H}_m, \mathcal{A}_m) \right)
m∗=1≤m≤Margmin(Em=Ecv(Hm,Am))
值得注意的是,由于验证过程也是在做选择,它的结果依旧会比最后的测试结果乐观一些。因此,最后重要的是测试的结果,而非找出来的最好的验证的结果。
4 三个学习的原则
这里介绍三个学习的原则。
4.1 奥卡姆剃刀
首先是奥卡姆剃刀(Occam’s Razor)。
An explanation of the data should be made as simple as possible, but no simpler.
–Albert Einsterin (?)
这句话传说是爱因斯坦所说,但没有证据。最早可追溯到奥卡姆的话:
entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (entities must not be multiplied beyond necessity)
–William of Occam (1287-1347)
在机器学习中,这是说能拟合数据的最简单的模型往往是最合理的。
什么叫简单的模型呢?对于单个假设 h h h来说,要求 Ω ( h ) \Omega(h) Ω(h)较小即参数较少,对于一个模型(假设集) H \mathcal{H} H来说,要求 Ω ( H ) \Omega(\mathcal{H}) Ω(H)较小即它没包含太多可能的假设。这两者是相关的,比如 ∣ H ∣ \vert \mathcal{H} \vert ∣H∣规模是 2 ℓ 2^\ell 2ℓ,那么其实只需要 ℓ \ell ℓ个参数就可以描述所有的 h h h,因此小的 Ω ( H ) \Omega(\mathcal{H}) Ω(H)也就意味着小的 Ω ( h ) \Omega(h) Ω(h)。
从哲学意义上说,越简单的模型,“拟合”发生的概率越小,如果真的发生了,那就说明数据中可能真的有一些比较重要的规律。
4.2 抽样偏差
第二个是要注意抽样偏差(Sampling Bias)。
如果数据的抽样过程存在偏差,那么机器学习也会产生一个有偏差的结果。
在讲解VC维时,提到过一个前提条件,就是训练数据和测试数据需要来自同一个分布。当无法满足时,经验法则是,尽可能让测试环境和训练环境尽可能匹配。
4.3 数据窥探
第三是要注意数据窥探(Data Snooping)。
如果你通过观察,发现数据比较符合某个模型,进而选用该模型,这是比较危险的,因为相当于加入了你大脑中的模型的复杂度。
在任何使用数据的过程中,其实都是间接窥探到了数据。在窥探了数据的表现后,做任何决策,都会引入“大脑”复杂度。
比如在做scaling时,不能把训练集和测试集放在一起做scaling,而只能对训练集做。
其实在机器学习的前沿研究中,也存在类似的情况。比如第一篇论文发现了 H 1 \mathcal{H}_1 H1会在 D \mathcal{D} D上表现较好,而第二篇论文提出了 H 2 \mathcal{H}_2 H2,它在 D \mathcal{D} D上比 H 1 \mathcal{H}_1 H1表现得更好(否则就不会发表),第三篇也如此……如果将所有论文看作一篇最终版的论文,那么真正的VC维其实是 d vc ( ∪ m H m ) d_\text{vc}(\cup_m \mathcal{H}_m) dvc(∪mHm),它会非常大,泛化会非常差。这是因为其实在每一步过程中,作者都通过阅读前人的文献而窥探了数据。
因此在做机器学习时,要审慎地处理数据。要避免用数据来做一些决策,即最好事先就将领域知识加入到模型中,而不是在观察了数据后再把一些特性加入模型中。另外,无论是在实际操作中,还是在看论文过程中,或者是在对待自己的结果时,都要时刻保持怀疑。