《视觉SLAM十四讲 第二版》笔记及课后习题(第四讲)

读书笔记:李群与李代数

上一讲,我们介绍了三维世界中刚体运动的描述方式,包括旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数等若干种方式。我们重点介绍了旋转的表示,但是在SLAM 中,除了表示之外,我们还要对它们进行估计和优化。因为在SLAM 中位姿是未知的,而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题,求解最优的R; t,使得误差最小化。
如前所言,旋转矩阵自身是带有约束的(正交且行列式为1)。它们作为优化变量时,会引入额外的约束,使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系,我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题,简化求解方式。
(这一章是纯数学的内容)
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李群(Lie Group):

  • 具有连续(光滑)性质的群。
  • 既是群也是流形。
  • 直观上看,一个刚体能够连续地在空间中运动,故SO(3)和SE(3)都是李群。但是,SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法,没有加法,所以难以进行取极限、求导等操作。

李代数:与李群对应的一种结构,位于向量空间。

  • 通常记作小写的so(3)和se(3)。书中以哥特体突出显示。
  • 事实上是李群单位元处的正切空间。

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课后习题

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1.验证SO(3),SE(3)和Sim(3)关于乘法成群:参考这篇博客

2.验证(R^3,R,X)构成李代数:参考这篇

3.验证so(3)和se(3)(李代数)满足李代数雅的性质,se(3)同so(3)证明相似:参考这篇

4.验证性质(4.20)和(4.21):参考这篇

5.直观的来讲,反对称矩阵p和Rp相似,相似表示的是不同基下相同的变换,此式表达的是在以R为基的(Rp) ^变换与原变换p ^相同,公式推导在这里。参考《Lie groups ,lie algebras, projective geometry and optimization for 3d Geometry,Engineering and Computer Vision》p18:

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6:第6题 有如下2.66性质,证明见《Lie Groups:An Introduction Through Linear Groups》
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参考《strasdat_phd2012》Lie groups部分

7:高博课程给出了结果:
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8:可参考本人之前关于CMake的博客,也可参考这篇。
find_package采用两种模式搜索库:
Module模式:搜索CMAKE_MODULE_PATH指定路径下的FindXXX.cmake文件,执行该文件从而找到XXX库。其中,具体查找库并给XXX_INCLUDE_DIRS和XXX_LIBRARIES两个变量赋值的操作由FindXXX.cmake模块完成。
Config模式:搜索XXX_DIR指定路径下的XXXConfig.cmake文件,执行该文件从而找到XXX库。其中具体查找库并给XXX_INCLUDE_DIRS和XXX_LIBRARIES两个变量赋值的操作由XXXConfig.cmake模块完成
可选参数例如版本控制:find_package(OpenCV 3)
先决条件是首先需要安装库:如apt-get install或者sudo make install