高斯消元法求解线性方程组

线性方程组是线性代数的核心考点之一，命题率比较高。线性方程组求解的基本方法就是高斯消元法。今天我们就给大家简单讲解如何利用高斯消元法求解线性方程组的解。

首先，我们先来了解一下线性方程组和高斯消元法的相关概念。

 

一、线性方程组

二、高斯消元法

1.线性方程组的初等变换

我们对线性方程组可以做如下的三种变换：

（1）将一个非零常数

（2）将一个方程的若干倍加到另一个方程上；

（3）交换两个方程的位置。

我们将线性方程组的这三种变换称之为线性方程组的初等变换。对方程组做初等变换得到的新的线性方程组与原来的线性方程组是同解的。易知，对线性方程组做初等行变换等价于对增广矩阵做相应的初等行变换。

注：由于齐次线性方程组的常数项恒为零，我们在对其做初等变换时只需对它的系数矩阵做相应的初等行变换。

2.高斯消元法

我们对线性方程组做初等变换的目的是为了将其化为与之同解的如下形式的线性方程组：

 

在该方程组中，每一个方程都至少比上一个方程少一个未知量，这种方程称为阶梯型方程。在阶梯型方程组中，每一行的第一个未知量称为主元，其余的未知量称为*变量。阶梯型方程组的解是比较容易求得的。将线性方程组通过初等行变换化为同解的阶梯型方程组的过程就称之为高斯消元法。

易知，利用高斯消元法求解线性方程组就等价于利用初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为阶梯型矩阵。

再将最后的增广矩阵还原为线性方程组同样可以求出原方程组的解。不难看出该求解过程更为简洁。

根据上面的讲解，相信大家对于利用高斯消元法求解线性方程组有了一个比较全面的了解：核心在于利用初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为阶梯型矩阵。希望同学们通过上面的学习能够掌握这一方法。