简谈分圆多项式
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我们将多项式 分解，它所分解得到的不可约多项式称为分圆多项式。事实上,分圆多项式的定义可以用以下的方式来得到：设ε是
的一个根,即ε是n次单位根，如果对任意的自然数k<n,ε都不是x^k-1的根，那么称ε为n次本原单位根.由所有n次本原单位根构成的多项式就称为n次分圆多项式。
我们应用上段后面的定义来证明n次分圆多项式是不可约的整系数多项式。
我们先来给出本原单位根的一些简单性质以及看一些低次的分圆多项式： [2]
1.α是n次本原单位根，那么 也是n次本原单位根,当且仅当
，实际上所有n次本原单位根的个数就是欧拉函数
。
证明：现在设 是全体n次本原单位根，那么n次分圆多项式就是：
，由于每个n次单位根必定是某个d次单位根，d|n,于是
由这个公式,我们可以得到 ,
,
,
。
一般的， .p是素数。
顺便指出，由分圆多项式的这个公式,比较两端的次数,我们立即得到初等数论关于Euler函数的著名结论：
分圆多项式 是不可约的整系数多项式。
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