支持向量机（三）——利用核函数得到非线性分类器

• 支持向量机（一）——线性可分支持向量机
• 支持向量机（二）——松弛变量处理异常点
• 支持向量机（三）——利用核函数得到非线性分类器

3 核函数与非线性支持向量机

3.1 核函数

如果训练数据本身是非线性的，比如按下图分布：

那么此时原输入空间没有超平面能将训练集很好地分离开，但存在这样的超曲面。而我们仍然希望用求解线性分类问题的方法求解非线性问题。这时可以将原输入空间中的数据点通过非线性变换，映射到新特征空间去，在此特征空间中，训练集是线性可分的，这时可以使用线性分类的方法找解决分类问题。比如上图中，将左边的原始输入空间映射到右边的新特征空间中去，然后用线性分类器在新空间中解决分类问题。

核函数
设X是输入空间（欧式空间Rn的子集或者离散集合），设H为特征空间（希尔伯特空间），如果存在一个从X到H的映射

ϕ(x):X→H

使得对所有的x,z∈X，函数K(x,z)满足条件

K(x,z)=ϕ(x)⋅ϕ(z)

则称K(x,z)为核函数，ϕ(x)为映射函数。

但是，ϕ是输入空间Rn到特征空间H的映射，而H一般是高维的甚至是无穷维的，所以直接求ϕ(x)是比较困难的。核技巧的想法是，只定义核函数K(x,z)，而不显示定义非线性映射函数ϕ，这对支持向量机来说再合适不过了，因为无论是支持向量机的优化问题还是其最优超平面，都只涉及变换后的内积，而并不需要变换值。（这里多提一句，对于确定的核函数K(x,z)，其对应的特征空间H和映射ϕ并不唯一。）

3.2 非线性支持向量机

于是在特征空间中的支持向量机优化问题为：

对应的最优超平面为：

3.3 常用核函数

核函数并不好构造，不过有几个常用的核函数：

• 多项式核
  

  K(x,z)=(x⋅z+1)p

• 高斯核
  

  K(x,z)=exp(−||x−z||22σ2)
  
  又称为径向基核函数，可以将数据映射到无穷维空间。

核函数有如下性质：

• 如果K1和K2为核函数，那么对于任意正数γ1,γ2，线性组合
  K(x,z)=γ1K1+γ2K2
  也是核函数。
• 如果K1和K2为核函数，那么核函数的乘积也是核函数：
  
  K(x,z)=K1(x,z)K2(x,z)
• 如果K1为核函数，那么对于任意函数g(x)，
  
  K(x,z)=g(x)K1(x,z)g(z)
  也是核函数。