《管理经济学》例题

供需分析例题

假定一个市场由A、B、C三个消费者组成，他们的单个消费者需求曲线分别为：Q_A=70-2P；Q_B=200-4P；Q_C=20-0.5P。行业供给曲线为：Q_S=40+3.5P。

​ 求：

（1）市场均衡价格和均衡产量。

（2）每人的购买量。

分析：

（1）求市场均衡应该先使需求和供给函数联立，两者相等进而求出变量P，然后将变量P带入某个需求函数，求出Q

注意此题中需要将市场上所有需求相加

(2)每人的购买量只需要将均衡价格带入需求函数求得Q

解：

（1）市场需求曲线为：Q_d=Q_A+Q_B+Q_C=290-6.5P

根据Q_d=Q_s建立方程：

$290-6.5P=40+3.5P$290−6.5P=40+3.5P

解方程得均衡价格为P=25，将P值代入Q_d或Q_s中求得均衡产量为：

$Q=290-6.5*25=127.5$Q=290−6.5∗25=127.5

(2)A、B、C每人的购买量分别为+

$Q_A=70-2*25=20$QA​=70−2∗25=20

$Q_B=200-4*25=100$QB​=200−4∗25=100

$Q_C=20-0.5*25=7.5$QC​=20−0.5∗25=7.5

效用理论例题

已知某消费者每月用2400元购买X和Y商品，他的效用函数为U=XY，X商品的价格为20元，Y商品的价格为30元，为获得最大效用，该消费者应该购买X商品和Y商品各为多少？

分析：

要使效用最大化，应先让$\frac{MU_X}{P_X}$PX​MUX​​=$\frac{MU_Y}{P_Y}$PY​MUY​​

根据$MU=\frac{dU}{dQ}$MU=dQdU​求出$MU_X,$MUX​,$MU_Y$MUY​

题目中给了X的价格为20元，Y的价格30元。

然后将上述变量带入公式，再将X或Y带入限制条件：

（x的商品数量*x的价格）+（y商品的数量*y的价格）=消费者收入

。

即：

$P_xX$Px​X+$P_yY$Py​Y=$I$I，其中Px是x商品的价格，Py是y商品的价格，I是消费者收入

消费者收入题目中给出了，求出x或y的数量之后再将变量带入限制条件即可求出另一个变量的值，此时两个商品的数量就求出来了。

解：

$MU_X=\frac{dU}{dY}=Y$MUX​=dYdU​=Y $MU_Y=\frac{dU}{dY}=X$MUY​=dYdU​=X

将MUx和MUy以及商品价格带入均衡条件得：

$\frac{Y}{20}=\frac{X}{30}$20Y​=30X​ 即：$Y=\frac{2}{3}X$Y=32​X

又因为$20x+30y=2400$20x+30y=2400 所以

$20X+30*\frac{2}{3}X=2400$20X+30∗32​X=2400

最后求得X=60，Y=40

消费者效用分析例题

小明现在预备用1000元来购买牛肉和大米，牛肉的价格为每斤20元，大米的价格为每斤5元。

（1）请写出小明购买牛肉和大米的预算线方程。

（2）如果以牛肉的购买量为纵轴，大米的购买量为横轴。预算线的斜率为多少？

（3）如果大米的价格降低到每斤四元，请写出新的预算线方程。

分析：

消费者预算线方程：
$P_xX$Px​X+$P_yY$Py​Y=$I$I

直线方程形式：

$Y=\frac{I}{P_Y}-\frac{P_X}{P_Y}X$Y=PY​I​−PY​PX​​X

其中直线程中，表示为直线方程的斜率。

第一题：将所有变量代入消费者预算线方程，直接用方程表示出来即可。

第二题：以牛肉的购买量为纵轴，也就是Y。大米的购买量为横轴。也就是X，可以用预算线方程表示之后，再将其转换为直线方程形式。其中，$-\frac{P_X}{P_Y}$−PY​PX​​就是直线方程的斜率。

第三题：将大米的价格改为4。带入消费者预算线方程即可。

解：
（1）假设大米的购买量为x，牛肉的购买量为y，则预算线方程为$1000=5x+20y$1000=5x+20y。

（2）如果以牛肉的购买量为纵轴大米的购买量为横轴。

​ 以上预算线可以改写为$Y=50-\frac{1}{4}X$Y=50−41​X

​ 因此预算线的斜率为$-\frac{1}{4}$−41​

（3）如果大米的价格降低到每斤4元，新的预算线方程为$1000-4X+20Y$1000−4X+20Y。

需求价格弹性例题

原始公式

某产品的需求价格弹性为2，如果明年该商品计划降价10%，那么该商品的销售量明年会增加多少？

分析：

根据需求价格弹性=需求量变动百分比/价格变动百分比，可以推导出：

需求量变动百分比=价格变动百分比*需求价格弹性，带入公式即可求出需求量变动百分比。

解：

根据需求价格弹性的公式， 得：

需求量变动百分比= 价格变动百分比* 需求价格弹性= 10%×2=20%

所以预期明年该商品的销售量会增加20%

弧弹性：

假定某企业在他的主要竞争对手降价之前，运动鞋的每月销量为10000双，售价为100元/双，在这个竞争对手降价之后，在这个竞争对手降价之后， 该公司的每月销量下降到8000双，依照过去的经验，该公司的运动鞋的需求价格弹性约为-2.0，如果该公司希望将销量恢复到每月10000双，那么应该降价到多少？

分析：首先题目中给的是两个点，所以要用到弧弹性，求两个点之间弧的弹性。

公式：

$E_d=\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P1}*\frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}$Ed​=P2​−P1Q2​−Q1​​∗Q1​+Q2​P1​+P2​​

题目中给出了Q₁,Q₂,P₁,只有P₂未知数，带入求出P₂即可

竞争对手降价前，销量为10000双时就是A点，此时该公司正处于价格P=100的时候；竞争对手降价后，此时该公司需求曲线因为其他（非价格）因素发生变化，需求曲线移动，因为是销量减少，向左移动。因为竞争对手降价后该公司没有降价，价格不变，销量减少至8000，即A’，此时要求新需求曲线上销量为10000所对应的价格P2，,根据公式代入即可

解：

令Q₁=8000，Q₂=10000,P₁=100,Ed=-2.0,根据弧弹性的计算公式

$E_d=\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P1}*\frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}$Ed​=P2​−P1Q2​−Q1​​∗Q1​+Q2​P1​+P2​​

即

$-2=\frac{10000-8000}{P_2-100}*\frac{100+P_2}{8000+10000}$−2=P2​−10010000−8000​∗8000+10000100+P2​​

计算得：

P₂=89.5（元/双）

当价格降到89.5元/双时，才能使该公司运动鞋的销量恢复到10000双。

点弹性：

假定某企业需求曲线方程为：$Q=3000-200P$Q=3000−200P。求：$P=10$P=10时的需求价格点弹性。

分析：

此题明确给出求点弹性（给出函数式即为求点弹性），只需将所有变量带入点弹性公式即可，题目中给出价格P为10的时候，求需求价格点弹性，将价格带入Q的方程，即可求出Q，P和Q都有了直接带入即可。

解：

当P=10时，Q=3000-200*10=1000

$E_d=\frac{dQ}{dP}*\frac{P}{Q}=-200*\frac{10}{1000}=-2$Ed​=dPdQ​∗QP​=−200∗100010​=−2

即P=10时，该企业的需求价格点弹性为-2。

根据需求定理，需求价格弹性的计算结果是负值，一般取其绝对值。需求价格弹性系数越大，说明该商品的需求量对其价格变动的反应灵敏度越高。

交叉弹性

某空调企业的营销部经理正在制定2017年的销售策略，为此需要估计企业在华东地区的空调需求量，信息管理部根据企业经营数据，提供了企业在华东地区的空调需求回归方程：

$Q_X=0.8-3.0P_X+0.9I+2.0P_Y+1.4A$QX​=0.8−3.0PX​+0.9I+2.0PY​+1.4A

假设2017年以上个变量的数值为$Px=2000元/台，I=3万元/年， Py=1.8千元/台，A=100万元/年$Px=2000元/台，I=3万元/年，Py=1.8千元/台，A=100万元/年

（1）求空调的需求价格弹性、需求收入弹性与竞争企业外的需求交叉弹性以及需求广告弹性，

（2）利用需求弹性预测华东地区2018年的空调需求量，假设企业计划2018年提高空调价格5%，广告费用 增加14%，预计2018年华东地区个人可支配收入会提高5%，竞争企业空调价格会上升6%，

分析：

第1问是求需求价格弹性、需求收入弹性、交叉弹性和需求广告弹性。

需求价格弹性：

$E_d=\lim_{\Delta P \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta P}*\frac{P}{Q}=\frac{dQ}{dP}*\frac{P}{Q}$Ed​=ΔP→0lim​ΔPΔQ​∗QP​=dPdQ​∗QP​

需求收入弹性：

$E_d=\lim_{\Delta I \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta I}*\frac{I}{Q}=\frac{dQ}{dI}*\frac{I}{Q}$Ed​=ΔI→0lim​ΔIΔQ​∗QI​=dIdQ​∗QI​

交叉弹性公式：

$E_c=\lim_{\Delta Py \to 0}\frac{\Delta Qx}{\Delta Py}*\frac{Py}{Qx}=\frac{dQx}{dPy}*\frac{Py}{Qx}$Ec​=ΔPy→0lim​ΔPyΔQx​∗QxPy​=dPydQx​∗QxPy​

需求广告弹性公式：

$E_d = \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\delta A}{A}}=\frac{\Delta Q}{\Delta A}*\frac{A}{Q}$Ed​=AδA​QΔQ​​=ΔAΔQ​∗QA​

题目中给出了Qx的方程，可以判断这题是求点弹性。

因为点弹性的公式中需要用到Qx，所以将题目中给出的常量直接带入Qx方程中求出Qx的值，再将所有变量带入需求价格弹性、需求收入弹性、交叉弹性和需求广告弹性即可。

（2）第2题给出了各个变动因素的增加百分比，根据原始公式可以推导出：

需求量变动的百分比=价格变动的百分比*弹性系数

将每个变动因素的需求量变动的百分比求出来分别相加，就是整体需求量变动的百分比，然后将需求量的值乘以变动的百分比，即为会增加的销售量。

解：

（1）$Px=2000元/台，I=3万元/年， Py=1.8千元/台，A=100万元/年$Px=2000元/台，I=3万元/年，Py=1.8千元/台，A=100万元/年将以上数据带入需求回归方程可得

$Q_X=0.8-3.0*2+0.9*3+2.0*1.8+1.4*1=2.5$QX​=0.8−3.0∗2+0.9∗3+2.0∗1.8+1.4∗1=2.5

2017年该企业在华东地区的空调销售量将会是250万台。

企业可以利用以上信息得出企业空调的需求价格弹性、需求收入弹性与竞争企业（Y）的需求交叉弹性以及需求广告弹性。

需求价格弹性：

$E_d=\frac{dQ}{dP}*\frac{P}{Q}=-3.0*\frac{2}{2.5}=-2.4$Ed​=dPdQ​∗QP​=−3.0∗2.52​=−2.4

Ed>1，则称该商品的需求对其价格变动富有弹性；

需求收入弹性：

$E_I= \frac{dQ}{dI}*\frac{I}{Q}=0.9*\frac{3}{2.5}=1.08$EI​=dIdQ​∗QI​=0.9∗2.53​=1.08

Ei>0，说明是正常商品

Ei<0，说明是非正常商品，低档商品

Ei>1，是奢侈品

需求交叉弹性：

$E_c=\frac{dQx}{dPy}*\frac{Py}{Qx}=2.0*\frac{1.8}{2.5}=-1.44$Ec​=dPydQx​∗QxPy​=2.0∗2.51.8​=−1.44

Ec>0，替代品

Ec<0，互补品

Ec=1，没有关系

需求广告弹性：

$E_A=$EA​= $\frac{dQ}{dA}*\frac{A}{Q}=1.4*\frac{1}{2.5}=0.56$dAdQ​∗QA​=1.4∗2.51​=0.56

（2）

$Q_x'=Qx[1+\frac{\Delta P_x}{Px}+E_d+\frac{\Delta P_I}{PI}+E_I++\frac{\Delta P_Y}{P_Y}+E_C+\frac{\Delta P_A}{P_A}+E_A+]$Qx′​=Qx[1+PxΔPx​​+Ed​+PIΔPI​​+EI​++PY​ΔPY​​+EC​+PA​ΔPA​​+EA​+]

=2.75(百万台)

短期生产函数

已知某企业的短期生产函数为 $Q=21L+9L^2-L^3$Q=21L+9L2−L3 试求该企业生产的三个阶段和最佳生产区域。

分析：

因为第一和第二阶段的分界点是边际产量和平均产量相等

第二阶段和第三阶段的分界点是边际产量为零

先求出边际产量和平均产量

$AP_L=\frac{Q}{L}$APL​=LQ​

$MP_L=\frac{dQ}{dL}$MPL​=dLdQ​

第一阶段末点=> 平均产量=边际产量

第二阶段末点=> 边际产量 =0

解：

$AP_L=\frac{Q}{L}=21+9L-L^2$APL​=LQ​=21+9L−L2

$MP_L=\frac{dQ}{dL}=21+18L-3L^2$MPL​=dLdQ​=21+18L−3L2

（1）第一生产阶段是由原点至$AP_L$APL​曲线和$MP_L$MPL​曲线的交点，即$MP_L=AP_L$MPL​=APL​据此建立方程：

$21L+9L-L^2=21+18L-3L2 $ 解得L=4.5

（2）第二生产阶段是由$AP_L$APL​曲线的最高点到$MP_L$MPL​等于零点，即$MP_L=0$MPL​=0，据此建立方程

$21+18L-3L^2=0$21+18L−3L2=0
解得L=7

根据以上计算可知：第一生产阶段L的取值范围为：原点至4.5,；第二生产阶段的取值范围是：L=4.5至L=7；

第三生产阶段取值范围为：L>7。企业最佳生产区域为第二生产阶段

生产要素最佳投入量

某计算器企业每天生产的计算器数量Q和每天投入的工人人数L之间的函数关系是：

$Q=147L-2L^2$Q=147L−2L2

该企业可以按照每台计算器40元的批发价格卖出其生产的全部计算器， 该企业生产工人每天的工资为120元。那么企业为了获取最大利润，每天应雇佣多少工人，每天的计算器产量为多少？

分析：

题目中让我们求最大利润，根据生产要素的最佳投入量公式VMPL=PL，我们可以求出L的数量，即为每天应雇佣多少工人，将L带入生产函数中，即可求出Q，即为每天的计算器产量。

解：

$MP_L=\frac{dQ}{dL}=147-4L$MPL​=dLdQ​=147−4L $P=40$P=40 $P_L=120$PL​=120

$VMP_L=P*MP_L=40*(147-4L)$VMPL​=P∗MPL​=40∗(147−4L)

根据利润最大化的要素投入原则$VMP_L=P_L$VMPL​=PL​，可建立以下方程：

$40*(147-4L)=120$40∗(147−4L)=120

解该方程得：

L=36

将L=36带入生产函数，可得每天产量为：

$Q=147*36-2*36^2=2700$Q=147∗36−2∗362=2700

通过以上计算可知：该企业为了获取最大利润，每天应该雇佣36人，每天产量为2700台。

长期生产函数

生产要素最佳组合

某企业现有熟练工100人，学徒工120人，如果再增加一名熟练工，每月可增加产量240件，再增加一名学徒工，每月可增加产量200件，假如每增加一名熟练工，每月增加支出5000元（包括工资及各种福利费等），每增加一名学徒工，每月增加支出3500元，问该企业目前熟练工和学徒工的比例是否最优，如果不是最优应如何调整？

分析：

题目问企业熟练工和学徒工的比例是否最优？根据生产要素最佳组合原则公式：

$\frac{MP_L}{P_L}=\frac{MP_K}{P_K}$PL​MPL​​=PK​MPK​​

将每个投入要素的投入产出比（件/元）计算出来，投入产出比越大，证明收益越高，我们应多投收益高的要素，所以如何调整的问题就是——增加投入产出比高的要素（投入产出比：花一块钱能生产出多少件产品）

解：

根据题意已知：$MP_{熟练工}=240(件)，MP_{学徒工}=200（件）；P_{熟练工}=5000（元），P_{学徒工}=3500（元）$MP熟练工​=240(件)，MP学徒工​=200（件）；P熟练工​=5000（元），P学徒工​=3500（元），所以：

$\frac{MP_{熟练工}}{P_{熟练工}}=\frac{240}{5000}=0.048(件/元)$P熟练工​MP熟练工​​=5000240​=0.048(件/元)

$\frac{MP_{学徒工}}{P_{学徒工}}=\frac{200}{3500}=0.057(件/元)$P学徒工​MP学徒工​​=3500200​=0.057(件/元)

即：

$\frac{MP_{熟练工}}{MP_{熟练工}}<\frac{MP_{学徒工}}{MP_{学徒工}}$MP熟练工​MP熟练工​​<MP学徒工​MP学徒工​​

由此可见，熟练工每月增加一元支出，可增加产量0.048件；学徒工每月增加一元支出，可增加产量0.057件，两者不等，说明该企业目前熟练工和学徒工的比例不是最优，应该增加学徒工同时减少熟练工。

规模报酬

某企业的生产函数为$Q=6LK$Q=6LK，其中，Q为该企业每日产量，L为该企业每日投入生产的劳动量，K为每日使用的资本量，劳动的价格为每单位劳动1元，资本的价格为每单位资本2元。若果该企业计划每日必须实现27单位的产出，问：（1）该企业每日应投入L和K各多少？（2）该企业的规模报酬状况如何？

分析：

第一题计算L和K的最佳组合，用生产要素最佳组合的公式

$\frac{MP_L}{P_L}=\frac{MP_K}{P_K}$PL​MPL​​=PK​MPK​​

题目中没有给出$MP_L$MPL​，我们用$MP_L=\frac{dQ}{dL}$MPL​=dLdQ​对Q求L|K的导数。

算出L或K的值带入原式Q，原式Q的值题目中给出是27，将L|K带入即可求出L和K的值。

第二题直接将L和K的指数带入柯布-道格拉斯的判别式：

$\alpha + \beta $

根据规律判断出规模报酬的状况

解：

$MP_L=\frac{dQ}{dL}=6K$MPL​=dLdQ​=6K $MP_K=\frac{dQ}{dK}=6L$MPK​=dKdQ​=6L P_L=1 P_K=2

​ 将以上带入生产要素最佳组合的均衡条件：

​ $\frac{MP_L}{P_L}=\frac{MP_K}{P_K}$PL​MPL​​=PK​MPK​​ 得

​ $K=\frac{1}{2}L$K=21​L

​ 又因为Q=27，根据企业生产函数可知：27=6LK

​ 求得：L=3，K=1.5

​ 因为该企业生产函数为柯布道格拉斯生产函数，其L、K的指数$\alpha =1 ,\beta = 1$α=1,β=1。

所以$\alpha + \beta $=2>1，因此该企业处于规模报酬递增阶段。

​ 根据以上计算，该企业处于规模报酬递增阶段。单位K要素1.5单位，该企业处于规模报酬递增阶段，适宜继续扩大规模。

成本分析

某企业有一台设备，现在用于生产A，其销售收入、成本和利润如表第二列所示。现在，企业如果把这台设备用于生产B，其预期的销售收入、成本和利润如表第三列所示。问：这台设备转产B产品在经济上是否合理？

项目	生产A产品	生产B产品
销售收入	50000	60000
全部成本	41000	56000
其中：
变动成本	31000	46000
固定成本	10000	10000
会计利润	9000	4000

解：

增量收入=生产产品B的收入-生产产品A的收入=60000-50000=10000（元）

增量成本=生产产品B的变动成本-生产产品A的变动成本=46000-31000=15000（元）

增量利润=增量收入-增量成本=10000-15000=-5000（元）

如果该设备用于生产产品B，会使利润减少5000元，因此生产产品B的方案是不可取的

短期成本分析

某公司短期总成本函数为：$STC=200+50Q$STC=200+50Q，请计算：该公司的总固定成本（TFC）；该公司生产100单位产品时的短期平均成本（SAC）；该公司短期生产的边际成本（SMC）

分析：

根据STC=TVC+TFC，我们可以看出成本函数中200是固定成本，50Q是变动成本。

第二题将变量带入SAC=STC/Q即可求出，第三题边际成本求导即可

解：

由STC函数可知：

TFC=200

$SAC=\frac{STC}{Q}=\frac{200}{Q}+50=\frac{200}{100}+50=52$SAC=QSTC​=Q200​+50=100200​+50=52

$SMC=\frac{dSTC}{dQ}=50$SMC=dQdSTC​=50

由以上计算可得答案：该公司的总固定成本为200，该公司生产100单位产品时的短期平均成本为52，该公司短期生产边际成本为50

长期成本分析

假定某企业的短期成本曲线TC=100+Q，试问：

（1）短期边际成本函数是什么？它说明了什么？

（2）假定该产业中所有企业的成本函数都是TC=100+Q且产品的市场需求量为1000，这时在一个占有40%市场的企业与一个占有20%的市场的企业之间，哪一个企业在成本上占有优势？

（3）从长期角度看，该企业为模规模经济还是规模不经济？为什么？

（4）有人认为该企业产量水平越高，企业的利润也越高，这种想法正确吗？

分析：

（1）短期边际成本函数就是对TC求Q的导数，短期边际成本是指企业在短期内每增加一单位产品所增加的成本。

（2）比较谁更有优势就是要看谁的平均成本低，将两个企业的平均成本都求出来，对比一下谁的成本低谁就有优势。题目中给出了市场上的总需求量，单个企业的需求量就是拿百分比乘以总量。将算出的单个企业需求量Q带入SAC=STC/Q

（3）判断是否经济需要用到长期平均成本函数公式LAC=LTC/Q；算出函数看Q的增加影响LAC的变化，如果LAC越来越大则在右侧递增区域，为规模不经济，反之规模经济。

（4）不正确，要考虑成本是否也很高，另外你卖不卖的出去也是个问题。

解：

（1）

$SMC=\frac{dTC}{dQ}=1$SMC=dQdTC​=1

说明该企业的边际成本函数为常数1，即产量每年增加1单位，成本也增加一单位。

（2）

由成本函数，可求得企业的平均成本函数为

$AC=\frac{TC}{Q}=(100/Q)+1$AC=QTC​=(100/Q)+1

​ 因为A企业的市场占有率为40%，A企业的市场需求量为，$Q_A=1000*40\%=400$QA​=1000∗40%=400，所以可求得A企业的平均成本为$AC_A=(100/400)+1=1.25$ACA​=(100/400)+1=1.25。

​ 因为B企业的市场占有率为20%，B企业的市场需求量为$Q_B=1000*20\%=200$QB​=1000∗20%=200，所以可求得B企业的平均成本为$AC_B==(100/200)+1=1.5$ACB​==(100/200)+1=1.5

​ 由此可知，A企业的平均成本低于B企业，因此A企业在成本上占有优势。

（3）

因为AC=TC/Q=(100+Q)+1，由该平均成本函数可知，随着产量Q的增加，该企业的平均成本不断下降，所以企业的规模为规模经济。

（4）

随着产量的增加，企业的平均成本不断下降，但如果增加的产量无法销售出去，企业的利润也不会增加。

短期成本函数

令某企业的生产函数为$Q=\sqrt{KL}$Q=KL​，已知K为固定要素，且K=4，生产过程中K要素耗费的总成本为100，L的价格为10。求该企业生产Q的总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。

分析：

先将生产函数转成柯布道格拉斯函数形式，$Q=(KL)^\frac{1}{2}$Q=(KL)21​=>$Q=K^\frac{1}{2}L^\frac{1}{2}$Q=K21​L21​得到$\alpha =\frac{1}{2}$α=21​，$\beta = \frac{1}{2}$β=21​。

因为求TC需要用到$TC=P_LL+P_KK$TC=PL​L+PK​K 题目中没有给出K和L的数量，需要我们用最优投入组合求出L或K的数量，带入总成本函数

用$\frac{MP_L}{P_L}=\frac{MP_K}{P_K}$PL​MPL​​=PK​MPK​​ 求出K或L的数量，但题目中没有给出P_K 因为总成本是100，K一共就4个（固定投入要素）所以K的价格就是100/4=25;P_L = 10代入公式即可

带入生产函数$Q=\sqrt{KL}$Q=KL​ 得到L或K的投入函数。将L和K的值带入到总成本函数。

平均函数对总成本函数除Q即可

编辑成本函数对TC求Q的导数

解：

已知K要素耗费的总成本为100，且K=4，即：

$KP_K=100,4P_K=100$KPK​=100,4PK​=100

$P_K=25$PK​=25

由生产函数$Q=\sqrt{KL}$Q=KL​ 得：

$MP_L=\frac{dQ}{dL}=\frac{1}{2}K^{2/1}L^{-1/2}$MPL​=dLdQ​=21​K2/1L−1/2

$MP_K=\frac{dQ}{dK}=\frac{1}{2}L^{2/1}K^{-1/2}$MPK​=dKdQ​=21​L2/1K−1/2

根据生产者均衡条件$\frac{MP_L}{P_L}=\frac{MP_K}{P_K}$PL​MPL​​=PK​MPK​​ 可得：

$\frac{\frac{1}{2}K^{\frac{1}{2}}L^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}}}=\frac{10}{25}$21​L21​K−21​21​K21​L−21​​=2510​

$\frac{K}{L}=\frac{2}{5}$LK​=52​

即： $K=\frac{2}{5}L$K=52​L

带入生产函数$Q=\sqrt{KL}$Q=KL​ 得

$Q=\sqrt{\frac{2}{5}L^2}=\sqrt{\frac{2}{5}}*L$Q=52​L2​=52​​∗L

得L的投入函数：$L=\sqrt{\frac{5}{2}}Q=\frac{\sqrt{10}}{2}Q$L=25​​Q=210​​Q

得总成本函数为：$TC=KP_K+LP_L=100+10L=100+5\sqrt{10}Q$TC=KPK​+LPL​=100+10L=100+510​Q

平均成本函数为：$AC=\frac{TC}{Q}=5\sqrt{10}+\frac{100}{Q}$AC=QTC​=510​+Q100​

边际成本函数：$MC=\frac{dTC}{dQ}=5\sqrt{10}$MC=dQdTC​=510​

成本分析

利润最大化

已知某商品生产成本C与产量Q的函数关系式为C=100+4Q，价格P与产量Q的函数关系式为P=25-1/8Q。求产量Q为何值时利润$\pi$π最大？

分析：

本题问我们利润最大时产量是多少？很明显利润最大化即边际成本=边际收益。MR=MC即可，MR求法：对TR求Q的导数，TR是P*Q。将以上条件带入MR中即可求出MR。MC就是总成本TC对Q求导。令MR=MC求出产量Q即为Q的大小，我们还可以继续求出$\pi$π的大小，用$\pi$π=MR-MC即可。

解：

当利润达到最大时，边际收益=边际成本。

由总收益 $TR=P*Q=(25-\frac{1}{8}Q)*Q=25Q-\frac{1}{8}Q^2$TR=P∗Q=(25−81​Q)∗Q=25Q−81​Q2

得边际收益 $MR=\frac{dTR}{dQ}=25-\frac{1}{4}Q$MR=dQdTR​=25−41​Q

由总成本TC=100+4Q得：

边际成本

$MC=\frac{dTC}{dQ}=4$MC=dQdTC​=4

由边际收益等于边际成本，得：$25-\frac{1}{4}Q=4$25−41​Q=4

解得：Q=84

此时，利润$\pi=TR-TC=782$π=TR−TC=782

某农场员工在小麦地里施肥，所用的肥料数量与预期收货数量之间的关系如下表所示。假定肥料每千克的价格为3元，小麦每千克的价格为1.5元。问：每亩施肥多少能使农场获利最大？

分析：

列表找出边际收益为0即为获利最大！

解：

盈亏平衡分析

​ 某企业生产某种产品，销售单价为10元，生产该产品的固定成本为5000元，单位产品变动成本为5元。

求：（1）企业经营的盈亏平衡产量；（2）若企业目标利润为5000元，求企业经营该种商品的目标利润销售量和销售额。

分析：

第一问用平衡时求产量的公式，根据TR=TC推导的$Q^*=\frac{TFC}{P-AVC}$Q∗=P−AVCTFC​

第二问用目标利润求目标销售量的公式，根据TR=TC+$\pi$π* 推导的$Q''=\frac{(TFC+\pi^*)}{(P-AVC)}$Q′′=(P−AVC)(TFC+π∗)​，目标利润销售额$TR*=P(TFC+\pi^*)/(P-AVC)$TR∗=P(TFC+π∗)/(P−AVC)

解：

根据题意，盈亏平衡点产量为：

$Q^*=\frac{TFC}{P-AVC}=5000/(10-5)=1000$Q∗=P−AVCTFC​=5000/(10−5)=1000

目标利润销售量：

$Q''=\frac{(TFC+\pi^*)}{(P-AVC)}=(5000+5000)/(10-5)=2000$Q′′=(P−AVC)(TFC+π∗)​=(5000+5000)/(10−5)=2000

目标利润销售额：

$TR*=P(TFC+\pi^*)/(P-AVC)=10*(5000+5000)/(10-5)=2000$TR∗=P(TFC+π∗)/(P−AVC)=10∗(5000+5000)/(10−5)=2000

产品产量的最佳组合确定

某公司下属两家分厂甲和乙生产相同的产品，但因技术条件不一，其生产成本也不相同。他们在各种产量下的预计总成本和边际成本数据见表：

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现假定公司共有生产任务6万件，问：如何在这两家分厂中分配，才能使公司总生产成本最低？

解

停止营业点

餐具生产商面临一条水平的需求曲线，企业的总成本函数为：

$TC=200+150Q-20Q^2+Q^3$TC=200+150Q−20Q2+Q3

问：当市场价格低于多少时，该企业应该停止生产？

分析：

计算当这三条线相等的时候（AVC=SMC=（AR=MR=P））解出价格，该价格即为低于此价格时应该停产的停止营业点

题目中没有具体给出可变成本，直接看总成本，带变量的即为可变成本，将可变成本带入AVC求出平均变动成本，再对TC求Q的导数即可求出SMC，将SAC和SMC联立，即可求出Q，将Q带入任意两个式子（AVC，SMC）中即可求出P的价格（P=AVC=SMC，只需求出其中一个即可得到另外两个的值），该价格即为企业的停止营业点

解：

企业长期均衡

已知完全竞争市场上，单个企业的长期成本函数为$LTC＝Q^3－ 20Q^2＋ 200Q$LTC＝Q3－20Q2＋200Q，市场的产品价格为P=600。
　　求：

（1）该企业实现利润最大化时的产量、平均成本和利润各是多少？

（2）该行业是否处于长期均衡，为什么？

（3）该行业处于长期均衡时每个企业的产量、平均成本和利润各是多少？

（4）判断（1）中的企业是处于规模经济阶段，还是处于规模不经济阶段？

分析：

第一题利润最大化时的产量、平均成本和利润，用利润最大化公式MR=MC即可求出利润最大化时的产量，平均成本用SAC=LTC/Q，利润用$\pi =TR-TC$π=TR−TC，TR就是P*Q，TC就是AC * P

第二题处于长期均衡的条件是超额利润=0

第三题长期均衡的条件为：MC=AC=（MR=AR=P）让MC=AC，求出Q，将Q随便带入一个式子，解出均衡点的价格，平均成本就是把Q带入平均成本函数（SAC）利润用$\pi =TR-TC$π=TR−TC ，TR就是P*Q，TC就是SAC * P，会发现超额利润正好是0

第四题算出长期均衡时的产量，如果产量等于长期均衡时的产量（最低点）即为规模经济，反之规模不经济

解：

垄断市场

假定有一家垄断企业，其成本函数为：$TC＝30＋18Q－2.7Q^2＋0.15Q^3$TC＝30＋18Q－2.7Q2＋0.15Q3需求曲线为：P＝20－Q以上函数中Q为该企业每月产量（单位：万件）。如果该企业谋求利润最大化，其最优价格和月最优产量为多少？此时每月的总利润为多少？

分析：

该题问的是利润最大化，利润最大化公式MR=MC，求MR需要先求TR，TR=P*Q；第二小问直接带到对应公式求即可，第三小问用$\pi=TR-TC$π=TR−TC 即可！

解:

垄断竞争市场

某公司在垄断竞争市场中经营，它面临的需求曲线为：P＝350－Q，长期总成本函数为：$TC＝355Q－2Q^2＋0.05Q^3$TC＝355Q－2Q2＋0.05Q3。求：
　（1）该企业的利润最大化时的价格、产量和经济利润是多少？
　（2）此时该企业是否处于长期均衡？

分析：

第一题问的是利润最大化，利润最大化公式MR=MC，求MR需要先求TR，TR=P*Q；第二小问直接带到对应公式求即可，第三小问用$\pi=TR-TC$π=TR−TC 即可！

第二题判断$\pi$π是否等于0即可，等于0即为长期均衡！

解：

斯威齐模型

假设某寡头企业的需求曲线为弯折的需求曲线，当价格上升和价格下降时的需求函数分别为：P1=7-0.025Q1
　P2=10-0.1Q2
　假设该企业的总成本函数为：TC=2Q+0.025Q2
　求：（1）该寡头企业弯折点的产量、价格和利润；
　（2）确定该企业边际成本在怎样的波动范围内均衡价格保持不变。

分析：

因为题目中说弯折的需求曲线，指的是斯威齐模型，题目中给出了两个价格函数即为两条需求曲线，因为在中间相切，将二者联立即可求出Q，Q即为弯折点的产量。将Q带入价格P函数即可求出P，利润是$\pi=TR-TC$π=TR−TC 总收益TR=P*Q，直接带入，TC题目中给出了。代入即可求出利润

第二题求范围就是两个需求曲线所对应的MR，将两个MR求出即范围。MR等于对TR求Q的导数，每个函数的TR就是每个需求函数P*产量Q

解：

成本加成定价法

某企业生产一种产品，预估下一年度总变动成本为100万元，总固定成本为140万元。假定企业来年的销售量为其生产能力100万件的80%，行业平均成本利润率为20%。根据成本加成定价法，该企业的该种产品的定价应该为多少？

分析：

成本加成定价法P=AC（1＋m）将平均成本算出来带公式里即可。平均成本AC是总成本TC除产品数量Q，总成本是变动成本加固定成本，产品数量是生产能力100万的80%，代入即可

解：

目标收益定价法

某产品预计销售量2000件，固定成本200000元，单位变动成本40元，目标利润80000元，试问该产品出厂价格应该定为多少？

分析：

题目中给出了所有变量直接带入公式。

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总成本=固定成本+变动成本

变动成本=单位变动成本*数量

解：