随机过程(三)平稳随机过程
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1. 定义
由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一、二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此主要研究宽平稳过程。并且我们把宽平稳过程简称为严平稳过程。这种仅研究与过程一、二阶矩有关性质的理论,就是所谓的相关理论。
对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究是方便的。
统计特性
当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变。
定义:严平稳过程
定义:宽平稳过程
2. 联合平稳过程及相关函数的性质
2.1 联合平稳过程
上式最后两项是X(t)和Y(t)的互相关函数,为使输出过程为平稳过程,则这两项必须与t无关。
2.2 相关函数的性质
相关函数的性质
证明
互相关函数的性质
证明
3. 随机分析
在微积分中,连续、导数、积分等概念都是建立在极限概念的基础上。对于随机过程的分析,也需要建立随机过程的连续性、导数和积分的概念,这些概念是建立在随机序列极限的基础上。这部分内容统称为随机分析。
在随机分析中,随机序列极限的定义有多种,我们介绍几种常用的定义。由于主要研究宽平稳过程,因此以下的随机过程都假定为二阶矩过程。
3.1 收敛性概念
微积分中的收敛
随机序列收敛的严格定义
较弱的收敛定义——不一定要求对每个都收敛
以上四种弱收敛定义的关系
均方极限的性质
3.2 均方连续
均方连续准则及推论
随机过程的均方连续不能导致样本轨道的连续。
3.3 均方导数
定义
均方可微准则
推论
3.4 均方积分
定义
均方可积准则
“牛顿—莱布尼茨公式”
4. 平稳过程的各态历经性
平稳随机过程的统计特征完全由前二阶矩函数确定,我们知道,对于固定的时刻t,均值函数和协方差函数是随机变量X(t)的取值在样本空间上的概率平均,是由X(t)的分布函数确定,通常很难求得。