用样本推断整体，中心极限定理及其一些前提条件

​写的时候也从互联网找了一些资料，参考链接放在文章中间了。
一些稀碎的东西：
卡方分布的n是用来查表的关键要素。
variance：方差
standard deviation：标准差

本文其实重点是用样本推断整体这部分内容的一个简单引子，对用样本推断整体做了一些知识的铺垫和通俗化的解释。对Chapter 2 Extra Slides PPT中的内容做了一部分补充，比如：
中心极限定理的通俗解释
大多数情况下，总体为什么可以假设服从正态分布的原因或猜想

后面还有随笔2/3/…，以便把这部分内容做一个系统的梳理和注解。内容将会包括，假设检验，用t分布预测事件发生的概率等。

正文：

由于这些变量都是独立同分布的，所以Xi的方差就和X的方差一样，平均值就和X的平均值一样，所以直接就可以写出来带有mu和theta的结果。样本平均值求出来和整体平均值一致，所以就说它没有系统误差，就是无偏估计(unbiased estimation)；方差算出来和系统方差是有一个除以n的系统误差，所以就是有偏估计。
然而，抽样终究是抽样，并不能真正代表整体，计算出的特征值（方差和平均值）还是随机的，每抽一次样加入上一次的样本，所计算出的特征值可能和上次算出来的都不一样，不过随着抽样次数的增加，肯定是越来越逼近真实的总体的特征值。这也就是魏老师常说的，样本不够，论文不行。
样本不够，有些计量中的公式或者说方法就不太适用，在这种情况下如果强行使用公式，算出来的东西就是有问题的。本来公式就是用来估计的，用了更少的样本，从理论上说，估计的结果当然更加有失偏颇了。
在样本能够采集的比较多的时候，我们就可以利用一些方法去利用样本特征去估计总体特征，这个方法也就是中心极限定理——

中心极限定理的通俗意思就是，通过增加采样，求出样本的特征值（这里以均值为例），然后这个特征值实际上是满足正态分布的（并不一定是标准正态分布，曲线肯定是以“横坐标=真实均值”所代表的线为左右轴对称的），通过画很多点在坐标轴中，就可以得到下面的曲线，可以看到均值的分布是接近正态分布的。然后我们就以正中间的那个数作为是整体的均值即可。

图片来源：https://www.jianshu.com/p/7e0597c0200a（这个大神在这个链接里有他的公众号的地址，可以去关注看看，我没看）
中心极限定理的比较严格的定义是：
中心极限定理是指，给定足够大的样本量，无论变量在总体中的分布如何，变量均值的抽样分布都将近似于正态分布。详细来讲，给定一个任意分布的总体，从这个总体中抽取n个样本，总共随机抽取m次，计算这m次的样本的平均值，则这些平均值的分布是正态分布，并且这些平均值的均值近似等于总体均值，平均值的方差为总体方差除以n。
在这里，要把握以下关键点：
第一，总体的分布是任意的，可以是卡方分布，可以是指数分布，可以是均匀分布，可以是……
第二，从总体中要抽n个样本，总共要抽m次，这里的m和n都要求越大越好，其中m是至少要比30大。
第三，这m次样本的平均值的分布是正态分布，这种分布叫做抽样分布。
第四，这些样本平均值的均值是近似为总体均值，也就是说，求两次均值。
（上面这个定义和关键点参考了：http://baijiahao.baidu.com/s?id=1669816513139069166&wfr=spider&for=pc）
可以看一个小例子（参考：https://www.jianshu.com/p/7e0597c0200a）
拿一个骰子????扔，扔很多次，可以看到1，2，3，4，5，6的出现的次数如下所示：

比如一共扔了10000次或者更多，总之是多到了不想挨个去相加求平均。现在我们有一个数据集，这个数据集有10000个数字，然后我们从中去采样，每次采样50次并记录数组，一共采集1000次，也就是一共有1000个数组，每个数组就可以形成一个平均值，然后我们画出平均值的分布图，如下所示：

就可以很直观看到，其1000个样本均值的分布是接近正态分布的。
这1000个数，已经比较少了，就可以去计算均值和方差了。
说白了，中心极限定理就是变着法子偷懒。

到了这里突然发现我上次有道题算错了。

题目里X的均值的数量是50（大于30），问x的均值大于等于52的概率。可以认为X的均值是服从正态分布的，可以先转化为标准正态分布。具体计算过程如下，上次忘了做积分。最后的结果应该是22.06%.

我感觉这题出的比较无厘头，实际做研究的时候应该不会出现这样的问题，整体的方差和均值都已经知道了，求x的均值的分布貌似没有必要（一家之言）。
实际中更多的情况是，均值也不知道，方差也不知道，就是总体摆在面前，自己去动手采样，自己做个数据集，然后去求总体的方差和均值，然后归纳出一些规律，解释一些现象，甚至推演一些新东西，这个研究就算做完了。
所以，很多情况下，肯定要考察我们去运用中心极限定理的能力。
这时候就要用到t分布。
使用t分布的前提是整体要服从正态分布。可以先假设，然后再去做假设检验。

其中n实际上是X的均值的样本数-1，因为自由度少了一个（使用了X的均值）。
当然，我们做研究中，实际上总体也是有限的，所以肯定不是理想的正态分布，自然界中可能也不存在理想的正态分布。但是在很多情况下，我们可以认为某个很大的总体是服从正态分布的。在数学上我们也有一些方法，可以通过正态性检验方法去检验。正态性检验方法有峰度检验、偏度检验等（具体的检验方法可以参考：https://baike.baidu.com/item/正态性检验/2660263?fr=aladdin）
笼统一点说，还是看从总体采集的样本X1，X2，X3…，Xn的大致分布，是不是长得像正态分布的图像，这里的“像不像”，就是说你的样本画出来的图的峰度、偏度等和正态分布有多接近，是不是可以接近到接受这个假设。这里不展开说如何去检验，这个应该有很多现成的软件可以去做，大概理解原理即可。

从另一个角度，正态分布实际上是自然界倾向于产生最大无序程度的一种表现。在给定均值和方差的分布中，正态分布是让熵最大的分(https://www.zhihu.com/question/19910173)。

上图 证明过程
这个也很好理解，举一个简单的例子，就是高尔顿钉板实验，这个就很直观地看到，球掉下之后会尽可能的散开，系统的无序程度尽可能达到最大。

图 高尔顿钉板实验
所以，我们在很多情况下，可以认为一件自然发生的事情的结果作为一个随机变量的分布，就是近似的正态分布。